आयलर संकलन का स्रोत देखें

[[अभिसारी श्रेणी|अभिसरण]] और [[अपसारी श्रेणी]] की गणित में '''आयलर संकलन''' एक संकलनीय विधि है। अर्थात् यह किसी श्रेणी को एक मान निर्दिष्ट करने की, आंशिक योग के सीमान्त मान वाली पारम्परिक विधियों से अलग एक विधि है। यदि किसी श्रेणी Σ''a''<sub>''n''</sub> का [[द्विपद रचनांतर|आयलर रुपांतरण]] इसके योग पर अभिसरित होता है तो इस योग को मूल श्रेणी का '''आयलर संकलन''' कहते हैं। इसी प्रकार अपसारी श्रेणी के लिए मान परिभाषित करने के लिए आयलर योग को श्रेणी के तीव्र अभिसरण के लिए काम में लिया जा सकता है।

आयलर योग को (E, ''q'') द्वारा निरुपित किये गये जाने वाली विधियों के एक परिवार के रूप में व्यापकीकृत किया जा सकता है, जहाँ ''q'' ≥ 0 है। योग (E, 0) प्रायिक (अभिसारी) योग है जबकि (E, 1) साधारण आयलर योग है। ये सभी विधियाँ वास्तव में [[बोरेल संकलन]] से दुर्बल हैं; ''q'' > 0 के लिए [[अपसारी श्रेणी#एबल संकलन|एबल संकलन]] के तुल्य होता है।

== परिभाषा ==

आयलर संकलन एकान्तर चिह्न वाली श्रेणियों के अभिसरण को त्वरित करने और उनके अपसारी योग को ज्ञात करने के लिए काम में लिया जाता है।
:<math> _{E_y}\, \sum_{j=0}^\infty a_j := \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(1+y)^{i+1}} \sum_{j=0}^i {i \choose j} y^{j+1} a_j .</math>

आयलर संकलन प्रारम्भिक श्रेणी को छोटा करता है क्योंकि
:<math>y^{j+1}\sum_{i=j}^\infty {i \choose j} \frac{1}{(1+y)^{i+1}}=1.</math>

इस विधि को अपने आप में पुनरावृत्ति अनुप्रयोग के रूप में उन्नत नहीं किया जा सकता
:<math> _{E_{y_1}} {}_{E_{y_2}}\sum = \, _{E_{\frac{y_1 y_2}{1+y_1+y_2}}} \sum.</math>

== सन्दर्भ ==

{{refbegin}}
*{{cite book |last=Korevaar |first=Jacob |title=Tauberian Theory: A Century of Developments |publisher=Springer |year=2004 |isbn=3-540-21058-X}}
*{{cite book |author=Shawyer, Bruce and Bruce Watson |title=Borel's Methods of Summability: Theory and Applications |publisher=Oxford UP |year=1994 |isbn=0-19-853585-6}}
*{{cite book |author=Apostol, Tom M. |title= Mathematical Analysis Second Edition |url=https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm |publisher= Addison Wesley Longman |year=1974 |isbn=0-201-00288-4}}

{{refend}}

[[श्रेणी:गणितीय श्रेणी]]