आव्यूह का स्रोत देखें

[[चित्र:Matrix.svg|thumb|247px|right|'''आव्यूह की संरचना''']]

[[गणित]] में '''आव्यूह''' एक अदिश राशियों से निर्मित आयताकार रचना है। यह आयताकार रचना [[कोष्ठक#लघु कोष्ठक|लघु कोष्ठक]] "()", दोहरे दण्ड "|| ||" अथवा [[कोष्ठक#दीर्घ कोष्ठक|दीर्घ कोष्ठक]] "[ ]" के अन्दर बंद होती है। इसमें संख्याओं का एक विशेष प्रकार का विन्यास किया जाता है, अत: इसे आव्यूह, या मैट्रिक्स, की संज्ञा दी गई है। मैट्रिक्स के अवयव संख्याएँ होती हैं किन्तु ये ऐसी कोई भी अमूर्त वस्तु हो सकती है जिनका गुणा किया जा सके एवं जिन्हें जोड़ा जा सके।

==परिभाषा==
सर्वप्रथम सिल्वेस्टर (1850 ई.) ने आव्यूह की यह परिभाषा दी थी कि '''संख्याओं के किसी आयताकार या वर्गाकार सरणी को, जिसमें से [[सारणिक]] (determinants) बन सकें, आव्यूह कहते हैं।''' आधुनिक समय में आव्यूह को एक अतिसंमिश्र (hypercomplex) संख्या के रूप में मानते हैं। इस दृष्टिकोण के प्रवर्तक हैं मिल्टन (1853 ई.) और केली (1858 ई.)।<ref>Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0</ref>
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
   -1.3 & 0.6 \\
   20.4 & 5.5 \\
   9.7 & -6.2 
 \end{bmatrix} </math>

===आकार===
{| class="wikitable"
|-
! नाम mohit lodhi
=!:'[light Color. Green'green:light ]
 !! आकार !! उदाहरण !! विवरण
|-
| [[पंक्ति आव्यूह]] || 1&nbsp;×&nbsp;''n'' || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}3 & 7 & 2 \end{bmatrix}</math>
| इसमें ऐसे आव्यूह आते हैं, जिसमें केवल एक ही पंक्ति होते हैं।
|-
| [[स्तम्भ आव्यूह]] || ''n''&nbsp;×&nbsp;1 || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix}</math>
| इसमें ऐसे आव्यूह आते हैं, जिसमें केवल एक ही स्तम्भ होते हैं।
|-
| [[वर्ग आव्यूह]] || ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}
 9 & 13 & 5 \\
 1 & 11 & 7 \\
 2 & 6 & 3
 \end{bmatrix}</math>
| इसमें ऐसे आव्यूह आते हैं, जिसमें एक से अधिक पंक्ति और स्तम्भ होते हैं। '''अथवा''' इसमें स्तंभों तथा पक्तियों की संख्या समान होती है । इसे कुछ स्थितियों में अदिश आव्यूह, शून्य आव्यूह त्रिभुजीय आव्यूह भी कहते हैं।
|}

==संकेत चिन्ह==
किसी भी आव्यूहों को लिखते समय उसे कोष्ठक में लिखा जाता है।
:<math> \mathbf{A} = 
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{bmatrix} = 
\left( \begin{array}{rrrr}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{m \times n}
</math>
मुख्यतः आव्यूह को "A" से दर्शाया जाता है। वहीं a<sub>11</sub> या a<sub>1,1</sub> से पंक्ति और स्तम्भों के मान को दिखाया जाता है। ऊपर दिये गए उदाहरण में a<sub>11</sub> पहले पंक्ति में और पहले स्तम्भ में है। इस कारण इसे 1,1 लिख कर दर्शाया गया है। वहीं इसी प्रकार से a<sub>12</sub> या a<sub>1,2</sub> पहले पंक्ति में है और दूसरे स्तम्भ में है। दूसरे स्तम्भ में होने के कारण अन्त में 2 लिखा गया है। पंक्ति के सभी मानों को m और स्तम्भ के सभी मानों को n से दर्शाया जाता है। 

==रैखिक परिवर्तन==
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
| क्षैतिज कतरनी m=1.25.
| क्षैतिज व्यवस्था
| दबाव मानचित्रण r=3/2
| प्रक्षेपित 3/2
|<cite id="rotation_matrix">परिक्रमण π/6<sup>R</sup> = 30°</cite>
|-
| <math>\begin{bmatrix}
1 & 1.25 \\
0 & 1 \end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}
3/2 & 0 \\
0 & 2/3 \end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
3/2 & 0 \\
0 & 3/2 \end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}\cos(\pi / 6^{R}) & -\sin(\pi / 6^{R})\\ \sin(\pi / 6^{R}) & \cos(\pi / 6^{R})\end{bmatrix}</math>
|-
| width="20%" | [[File:VerticalShear m=1.25.svg|175px]]
| width="20%" | [[File:Flip map.svg|150px]]
| width="20%" | [[File:Squeeze r=1.5.svg|150px]]
| width="20%" | [[File:Scaling by 1.5.svg|125px]]
| width="20%" | [[File:Rotation by pi over 6.svg|125px]]
|}

==इतिहास==
आव्यूह का बहुत लम्बा इतिहास है, लेकिन रेखीय गणना हेतु इसका उपयोग वर्ष 1800 के बाद ही शुरू हो पाया। चीनी पाठ्य "गणित कला के नौ अध्याय" दूसरी सदी में लिखा गया इसका पहला उदाहरण था। जिसमें इसे एक प्रकार के व्यूह संरचना के रूप में हल किया गया था। इसके बाद वर्ष 1545 में इटली के गणितज्ञ ''गिरोलामो कार्डनो'' ने इस विधि को चीन से ले कर यूरोप में ''अर्स मेग्ना'' के नाम से प्रकाशित किया।<ref name=":1">Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, October 10, 2001 ISBN 978-0321079121 | p.564-565</ref> जापान के गणितज्ञ सेकी भी इस तरह के विधि से वर्ष 1683 में कई गणितीय समीकरण हल किए।<ref>{{cite book |last1= |first1= |authorlink1= |last2= |authorlink2=Wang Ling (historian) |title=Science and Civilisation in China |url=http://books.google.com/books?id=jfQ9E0u4pLAC&pg=PA117 |volume=III |year=1959 |publisher=केंब्रिज विवि |location=केंब्रिज |isbn=9780521058018 |page=117 |access-date=12 दिसंबर 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170118193516/https://books.google.com/books?id=jfQ9E0u4pLAC&pg=PA117 |archive-date=18 जनवरी 2017 |url-status=live }}</ref> इसके बाद डच गणितज्ञ ''जेन डे विट्ट'' ने इसका एक परिवर्तित रूप 1659 में एक पुस्तक में प्रकाशित किया।<ref name=":0">Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, October 10, 2001 ISBN 978-0321079121 | p.564</ref>

== इन्हें भी देखें ==
* [[व्यूहों की सूची]]
* [[सारणिक]]

==सन्दर्भ==
{{टिप्पणीसूची}}

== बाहरी कड़ियाँ ==
*[https://web.archive.org/web/20160418134526/http://ganitanjali.blogspot.in/2015/06/matrix-decomposition.html आव्युह वियोजन (matrix decomposition)] (गणितांजलि)

{{बीजगणित}}

[[श्रेणी:बीजगणित]]
[[श्रेणी:आव्यूह सिद्धान्त]]