अभिलक्षणिक मान तथा अभिलक्षणिक सदिश

किसी अशून्य वर्ग मैट्रिक्स $A$ का अभिलाक्षणिक सदिश (आइगेन वेक्टर / eigenvector) $v$ वह अशून्य सदिश है जो निम्नलिखित विशेषता रखता है-

$Av=\lambda v$

जहाँ $\lambda$ एक संख्या है। इसे $A$ का अभिलाक्षणिक मान (आइगेन मान / eigenvalue) कहा जाता है।

उदाहरण

$A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right],$

के लिए सदिश

$v=\left[\begin{array}{c}4\\ -4\end{array}\right]$

अभिलाक्षणिक सदिश है जिसका अभिलाक्षणिक मान 2 है। क्योंकि,

$Av=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\cdot 4+1\cdot (-4)\\ 1\cdot 4+3\cdot (-4)\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{c}8\\ -8\end{array}\right]=2\cdot \left[\begin{array}{c}4\\ -4\end{array}\right].$

लेकिन निम्नलिखित सदिश

$v=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

अभिलाक्षणिक सदिश नहीं है क्योंकि

$\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\cdot 0+1\cdot 1\\ 1\cdot 0+3\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right],$

तथा यह सदिश मूल सदिश $v$ का कोई गुणक (multiple) नहीं है।

दूसरा उदाहरण

मैट्रिक्स

$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right],$

हो तो,

$A\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=0\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],$

$A\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right]=3\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right],$ तथा

$A\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 0\end{array}\right]=2\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right].$

अतः सदिश $[1,0,0{]}^{\mathrm{\top }}$, $[0,0,1{]}^{\mathrm{\top }}$ और $[1,2,0{]}^{\mathrm{\top }}$ सदिश $A$ के अभिलाक्षणिक सदिश हैं तथा संगत अभिलाक्षणिक मान क्रमशः 0, 3 और 2 हैं। (यहाँ संकेत ${}^{\mathrm{\top }}$ मैट्रिक्स के ट्रांसपोज का प्रतीक है।