E (गणितीय नियतांक)

साँचा:Lowercase title गणित में e एक प्रागनुभविक संख्या है। इसका मान लगभग २.७१८२८ है। इसको यदाकदा 'आयलर संख्या' (Euler's number) भी कहते हैं। e एक महत्त्वपूर्ण गणितीय नियतांक है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार यही संख्या ली जाती है।

परिभाषा

e को निम्नलिखित दो व्यंजकों द्वारा पारिभाषित किया जाता है-

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$

$e=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots =1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\cdots$

गुण

e एक प्रागनुभविक अपरिमेय संख्या है।

कैलकुलस

इक्सपोनेन्सियल फलन e^x इस कारण भी महत्त्वपूर्ण है क्योंकि यह एकमात्र फलन है जिसका अवकलज (differential) भी स्वयं यही फलन है। (अतः इसका प्रति-अवकलज भी यही है)

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

$\begin{array}{cc}{e}^x& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{e}^{t}dt\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^{t}dt+\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{t}dt\\ & =1+\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{t}dt.\end{array}$

आयलर का सूत्र

$e^{ix}=\cos (x)+i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x),$

इस सूत्र में x = π रखने पर आयलर सर्वसमिका प्राप्त होती है-

$e^{i\pi }+1=0;$

सतत भिन्न

$e-1=[1;0,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,\dots ]$