सीमा तुलना परीक्षण

साँचा:स्रोत हीनसाँचा:कलन गणित में, सीमांत तुलना परीक्षण (limit comparison test) अनन्त श्रेणी के अभिसरण की एक विधि है।

कथन

माना कि ${\mathrm{\Sigma }}_n{a}_n$ और ${\mathrm{\Sigma }}_n{b}_n$ दो श्रेणियाँ हैं जहाँ सभी $n$ के लिए $a_n,b_n\ge 0$ है।

तब यदि $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=c$ जहाँ $0<c<\mathrm{\infty }$ है तब दोनो श्रेणी या तो अभिसारी होंगी या अपसारी।

उपपत्ति

चूँकि $\lim \frac{a_n}{b_n}=c$ और हम जानते हैं कि सभी $\epsilon$ के लिए एक पूर्णांक $n_0$ इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है कि $n\ge n_0$ हमें $|\frac{a_n}{b_n}-c|<\epsilon$ प्राप्त होता है अथवा

$-\epsilon <\frac{a_n}{b_n}-c<\epsilon$

$c-\epsilon <\frac{a_n}{b_n}<c+\epsilon$

$(c-\epsilon )b_n<a_n<(c+\epsilon )b_n$

प्रत्येक $c>0$ के लिए $\epsilon$ का मान स्वैच्छिक रूप से छोटा चयनित किया जा सकता है जहाँ $c-\epsilon$ धनात्मक प्राप्त हो। अतः $b_n<\frac{1}{c-\epsilon }{a}_n$ हो और प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण से यदि $a_n$ अभिसारी है तो $b_n$ भी अभिसारी होगी।

इसी प्रकार $a_n<(c+\epsilon )b_n$, अतः यदि $b_n$ अभिसारी है तब प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण से $a_n$ भी अभिसारी होगी।

अतः या तो दोनों श्रेणियाँ अभिसारी होंगी अथवा अपसारी।

उदाहरण

हम ज्ञात करना चाहते हैं कि श्रेणी $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+2n}$ अभिसारी है। इससे तुलना हम अभिसारी श्रेणी $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ से करते हैं।

चूँकि $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^2+2n}\frac{n^2}{1}=1>0$ अतः हम प्राप्त करते हैं कि मूल श्रेणी भी अभिसारी है।

इन्हें भी देखें

• अभिसरण परीक्षण
• प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण

बाहरी कड़ियाँ

• Pauls Online Notes on Comparison Test