लग्रान्ज बहुपद

लग्रान्ज बहुपदों (Lagrange polynomials) का उपयोग संख्यात्मक विश्लेषण (numerical analysis) में होता है।

परिभाषा

माना k + 1 बिन्दुओं का निम्नलिखित समुच्चय दिया हुआ है

$(x_0,y_0),\dots ,(x_k,y_k)$

जहाँ सभी x_j एक दूसरे से भिन्न हैं, तो निम्नलिखित अंतर्वेशी बहुपद (interpolating polynomial) लग्रानज बहुपद कहलाता है-

$L(x)=\sum _{j=0}^k{y}_j{\ell }_j(x)$

जहाँ आधार बहुपद निम्नलिखित है-

${\ell }_j(x)=\prod _{i=0,i\ne j}^k\frac{x-x_i}{x_j-x_i}=\frac{x-x_0}{x_j-x_0}\cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}\cdots \frac{x-x_k}{x_j-x_k}$

उदाहरण

tan y का अन्तर्वेशन

माना फलन $f(x)=\tan (x)$ पर कुछ बिन्दु लेते हैं,

$x_0=-1.5$	$f(x_0)=-14.1014$
$x_1=-0.75$	$f(x_1)=-0.931596$
$x_2=0$	$f(x_2)=0$
$x_3=0.75$	$f(x_3)=0.931596$
$x_4=1.5$	$f(x_4)=14.1014$

इन ५ बिन्दुओं के लिये अन्तर्वेशन बहुपद ४ घात का होगा।

आधार बहुपद निम्नलिखित हैं-

${\ell }_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot \frac{x-x_2}{x_0-x_2}\cdot \frac{x-x_3}{x_0-x_3}\cdot \frac{x-x_4}{x_0-x_4}=\frac{1}{243}x(2x-3)(4x-3)(4x+3)$

${\ell }_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot \frac{x-x_2}{x_1-x_2}\cdot \frac{x-x_3}{x_1-x_3}\cdot \frac{x-x_4}{x_1-x_4}=-\frac{8}{243}x(2x-3)(2x+3)(4x-3)$

${\ell }_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot \frac{x-x_1}{x_2-x_1}\cdot \frac{x-x_3}{x_2-x_3}\cdot \frac{x-x_4}{x_2-x_4}=\frac{1}{243}(243-540x^2+192x^4)$

${\ell }_3(x)=\frac{x-x_0}{x_3-x_0}\cdot \frac{x-x_1}{x_3-x_1}\cdot \frac{x-x_2}{x_3-x_2}\cdot \frac{x-x_4}{x_3-x_4}=-\frac{8}{243}x(2x-3)(2x+3)(4x+3)$

${\ell }_4(x)=\frac{x-x_0}{x_4-x_0}\cdot \frac{x-x_1}{x_4-x_1}\cdot \frac{x-x_2}{x_4-x_2}\cdot \frac{x-x_3}{x_4-x_3}=\frac{1}{243}x(2x+3)(4x-3)(4x+3)$

इस प्रकार, निम्नलिखित अन्तर्वेशन बहुपद प्राप्त होता है-

$\frac{1}{243}(f(x_0)x(2x-3)(4x-3)(4x+3)-8f(x_1)x(2x-3)(2x+3)(4x-3)$

$+f(x_2)(243-540x^2+192x^4)-8f(x_3)x(2x-3)(2x+3)(4x+3)$

$+f(x_4)x(2x+3)(4x-3)(4x+3))$

$=-1.47748x+4.83456x^3.$