भास्कर प्रमेयिका

निम्नलिख सर्वसमिका को भास्कर प्रमेयिका (Bhaskara's Lemma) कहते हैं। यह सर्वसमिका चक्रवाल विधि में प्रयुक्त होती है।

$N{x}^2+k=y^2⟹N{\left(\frac{mx+y}{k}\right)}^2+\frac{m^2-N}{k}={\left(\frac{my+Nx}{k}\right)}^2$

जहाँ $m,x,y,N,$ पूर्णांक हैं और $k$ शून्येतर पूर्णांक (non-zero integer) है।

उपपत्ति

समीकरण के दोनों पक्षों को $m^2-N$ से गुणा करके, $N^2{x}^2+2Nmxy+N{y}^2$ जोड़कर, इसका गुणनखण्ड करें तथा $k^2$ से भाग दें।

$N{x}^2+k=y^2⟹N{m}^2{x}^2-N^2{x}^2+k(m^2-N)=m^2{y}^2-N{y}^2$

$⟹N{m}^2{x}^2+2Nmxy+N{y}^2+k(m^2-N)=m^2{y}^2+2Nmxy+N^2{x}^2$

$⟹N(mx+y{)}^2+k(m^2-N)=(my+Nx{)}^2$

$⟹N{\left(\frac{mx+y}{k}\right)}^2+\frac{m^2-N}{k}={\left(\frac{my+Nx}{k}\right)}^2.$

जब तक न तो $k$ और न ही $m^2-N$ शून्य है, उपरोक्त निष्कर्ष दोनों दिशाओं में सत्य है। (implication goes in both directions). (यह भी नोट करें कि यह प्रमेयिका वास्तविक संख्याओं, पूर्णाकों और समिश्र संख्याओं -- सभी के लिए सत्य है।)

सन्दर्भ

• C. O. Selenius, "Rationale of the chakravala process of Jayadeva and Bhaskara II", Historia Mathematica, 2 (1975), 167-184.
• C. O. Selenius, Kettenbruch theoretische Erklarung der zyklischen Methode zur Losung der Bhaskara-Pell-Gleichung, Acta Acad. Abo. Math. Phys. 23 (10) (1963).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (1975).

इन्हें भी देखें

• भास्कराचार्य द्वितीय
• चक्रवाल विधि

बाहरी कड़ियाँ

• Introduction to chakravala