भास्कराचार्य द्वितीय के सूत्र की उपपत्ति

द्विघात समीकरण के मूल निकालने का सूत्र भारत के प्रसिद्ध गणितज्ञ भास्कराचार्य (भास्कर द्वितीय) ने निकाला था।

इसमें दो चर $x_1,x_2$ प्राप्त करने हैं जो समीकरण $a{x}^2+bx+c=0$ को सन्तुष्ट करते हैं।

सरल विधि : चर को बदलकर

यदि $2m=b/a$ तथा $n=c/a$ रखते हुए चर को बदल दिया जाय तो यह सरल हो जाता है-

$a{x}^2+bx+c=0$

• उपरोक्त अनुसार चर को बदलने पर,

$x^2+2mx+n=0$

• दोनों पक्षों में$m^2$ जोड़ने तथा n घटाने पर,

$x^2+2mx+m^2=m^2-n$

• हम देखते हैं कि बांया पक्ष पूर्ण वर्ग है।

$(x+m{)}^2=m^2-n$

• दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,

$x+m=\pm \sqrt{m^2-n}$

• $m$ को दाएं पक्ष में ले जाने पर,

$x=-m\pm \sqrt{m^2-n}$

• सबसे ऊपर किए गये चर परिवर्तन को $m=b/2a$ तथा $n=c/a$ रखकर हटाने पर,

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}}$

• अन्ततः मूलों के लिए हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है-

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

उपपत्ति

• निम्नलिखित द्विघात समीकरण लेते हैं-

$a{x}^2+bx+c=0$ con $a\ne 0$

• दोनों पक्षों में $4a$ से गुणा करने पर,

$4a^2{x}^2+4abx+4ac=0$

• दोनों तरफ $b^2$ जोड़ने पर,

$b^2+4a^2{x}^2+4abx+4ac=b^2$

• या,

$4a^2{x}^2+4abx+b^2=b^2-4ac$

• बाएं पक्ष को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर,

$(2ax+b{)}^2=b^2-4ac$

• दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,

$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}$

• $b$ को दाएँ पक्ष में ले जाने पर,

$2ax=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}$

• चूंकि $a\ne 0$ , दोनों तरफ $2a$ से भाग करने पर,

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

इन्हें भी देखें

• द्विघात समीकरण
• भास्कराचार्य द्वितीय

बाहरी कड़ियाँ

• Demostración: Fórmula Resolvente