अतिपरवलयिक फलन

A ray through the unit hyperbola $x^2-y^2=1$ in the point $(\cosh a,\sinh a)$, where $a$ is twice the area between the ray, the hyperbola, and the $x$-axis. For points on the hyperbola below the $x$-axis, the area is considered negative (see animated version with comparison with the trigonometric (circular) functions).

गणित में, अतिपरवलयिक फलन (hyperbolic functions) ऐसे फलन हैं जो सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों से मिलते-जुलते किन्तु अलग फलन हैं।

हाइपरबोलिक साइन "sinh" (साँचा:IPAc-en या साँचा:IPAc-en), और हाइपरबोलिक कोसाइन "cosh" (साँचा:IPAc-en), मूलभूत अतिपरवलयिक फलन हैं। इनसे हाइपरबोलिक टैन्जेन्ट "tanh" (साँचा:IPAc-en या साँचा:IPAc-en), हाइपरबोलिक कोसेकेन्ट "csch" या "cosech" (साँचा:IPAc-en या साँचा:IPAc-en), हाइपरबोलिक सेकेन्ट "sech" (साँचा:IPAc-en या साँचा:IPAc-en), तथा हाइपरबोलिक कोटैन्जेन्ट "coth" (साँचा:IPAc-en या साँचा:IPAc-en), व्युत्पन्न हुए हैं।

परिभाषा

sinh, cosh and tanh

csch, sech and coth

(a) cosh(x) is the average of e^x and e^−x

(b) sinh(x) is half the difference of e^x and e^−x

अतिपरवलयिक फलनों को कई तरह से पारिभाषित किया जाता है। एक विधि इनको इक्सपोनेन्शियल फलन के फलन के रूप में परिभाषित करती है-

• Hyperbolic sine:

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}=\frac{1-e^{-2x}}{2e^{-x}}.$

• Hyperbolic cosine:

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}=\frac{1+e^{-2x}}{2e^{-x}}.$

• Hyperbolic tangent:

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=$

$=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}.$

• Hyperbolic cotangent:

$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=$

$=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=\frac{1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}},x\ne 0.$

• Hyperbolic secant:

$\mathrm{sech}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=$

$=\frac{2e^x}{e^{2x}+1}=\frac{2e^{-x}}{1+e^{-2x}}.$

• Hyperbolic cosecant:

$\mathrm{csch}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=$

$=\frac{2e^x}{e^{2x}-1}=\frac{2e^{-x}}{1-e^{-2x}},x\ne 0.$

हाइपरबोलिक फलनों को अवकल समीकरणों के हल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरबोलिक साइन और हाइपरबोलिक कोसाइन निम्नलिखित तन्त्र के अनन्य हल साँचा:Math हैं-

$\begin{array}{cc}{c}^{\prime }(x)& =s(x)\\ s^{\prime }(x)& =c(x)\end{array}$

such that साँचा:Math and साँचा:Math.

ये फलन निमनलिखित समीकरण के अन्न्य हल भी हैं- $f^{″}(x)=f(x),$ such that $f(0)=1,f^{\prime }(0)=0,$ for the hyperbolic cosine, and $f(0)=0,f^{\prime }(0)=1,$ for the hyperbolic sine.

Hyperbolic functions may also be deduced from trigonometric functions with complex arguments:

• Hyperbolic sine:

$\sinh x=-i\sin (ix)$

• Hyperbolic cosine:

$\cosh x=\cos (ix)$

• Hyperbolic tangent:

$\tanh x=-i\tan (ix)$

• Hyperbolic cotangent:

$\coth x=i\cot (ix)$

• Hyperbolic secant:

$\mathrm{sech}x=\sec (ix)$

• Hyperbolic cosecant:

$\mathrm{csch}x=i\csc (ix)$

where i is the imaginary unit with the property that $i^2=-1.$

The complex forms in the definitions above derive from Euler's formula.