कौशी अभिसरण परीक्षण

साँचा:Distinguish कौशी अभिसरण परीक्षण किसी अनन्त श्रेणी के अभिसरण के परीक्षण के लिए काम में लिया जाता है। एक श्रेणी

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$

सभी a_i वास्तविक अथवा सम्मिश्र के लिए यह योग के लिए अभिसारी है यदि और केवल यदि ∀ $\epsilon >0$ एक प्राकृतिक संख्या N इस प्रकार है कि

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\epsilon$

∀ साँचा:Nobreak और साँचा:Nobreak.

यह परीक्षण कार्य करता है क्योंकि वास्तविक संख्याओं की समष्टि R और सम्मिश्र संख्याओं की समष्टि C (निरपेक्ष मान द्वारा दिए गए दूरिक सहित) दोनों पूर्ण हैं, अतः श्रेणी अभिसारी होगी यदि और केवल यदि आंशिक योग

$s_n:=\sum _{i=0}^n{a}_i$

एक कौशी अनुक्रम है : प्रत्येक $\epsilon >0$ के लिए एक संख्या N इस प्रकार परिभषित है कि प्रत्येक n, m > N के लिए

$|s_m-s_n|<\epsilon$

माना m > n और अतः एक धनात्मक संख्या p = m − n परिभाषित करने पर

$|s_{n+p}-s_n|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\epsilon .$