जड़त्वाघूर्ण

किसी पिण्ड की घूर्णन की दर के परिवर्तन के प्रति प्रतिरोध की माप उस पिण्ड का जड़त्वाघूर्ण (Moment of inertia) कहलाता है। किसी पिण्ड का जड़त्वाघूर्ण उसके आकार-प्रकार एवं उसके अन्दर द्रव्यमान के वितरण की प्रकृति पर निर्भर करता है। स्थानान्तरण गति में जो कार्य द्रव्यमान का है वही कार्य घूर्णन गति में जड़त्वाघूर्ण का होता है। जड़त्वाघूर्ण के प्रतीक के लिये I या कभी-कभी J का प्रयोग किया जाता है। जड़त्वाघूर्ण की अवधारणा का उल्लेख सबसे पहले यूलर (Euler) ने सन् १७३० में अपनी पुस्तक ' Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum ' में nanu था।

परिभाषा

किसी स्थिर अक्ष के परितः कणों के किसी निकाय का जड़त्वाघूर्ण J_a, उन सभी कणों के द्रव्यमान तथा उनकी अक्ष से दूरी के वर्ग के गुणनफलों के योग के बराबर होता है।

$J_{a} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i}^{2}$ ,

जहाँ:

m_i — i-वें कण का द्रव्यमान
r_i — i-वें कण की अक्ष से लम्बवत दूरी

कुछ पिण्डों के मुख्य जड़त्वाघूर्ण

पिण्ड	व्याख्या	जड़त्वाघूर्ण
	Eine Punktmasse im Abstand $r$ um eine Drehachse.	$J = m \cdot r^{2}$
	Ein Zylindermantel, der um seine Symmetrieachse rotiert, für eine Wandstärke $d ≪ r$ .	$J \approx m \cdot r^{2}$
	Ein Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert.	$J = \frac{1}{2} m \cdot r^{2}$
	Ein Hohlzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert. Schließt die vorgenannten Grenzfälle Zylindermantel und Vollzylinder mit ein.	$J = m \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}}{2}$
	Ein Vollzylinder, der um eine Querachse (zweizählige Symmetrieachse) rotiert.	$J = \frac{1}{4} m \cdot r^{2} + \frac{1}{12} m \cdot l^{2}$
	Ein Zylindermantel, der um eine Querachse (zweizählige Symmetrieachse) rotiert.	$J = \frac{1}{2} m \cdot r^{2} + \frac{1}{12} m \cdot l^{2}$
	Ein dünner Stab, der um eine Querachse (zweizählige Symmetrieachse) rotiert. Diese Formel ist eine Näherung für einen Zylinder mit $r ≪ l$ .	$J = \frac{1}{12} m \cdot l^{2}$
	Dünner Stab, der um eine Querachse durch ein Ende rotiert. Diese Formel ist die Anwendung der Steiner-Regel auf den dünnen Stab.	$J = \frac{1}{3} m \cdot l^{2}$
	Eine Kugelschale, die um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert, für eine Wandstärke $d ≪ r$ .	$J \approx \frac{2}{3} m \cdot r^{2}$
	Eine massive Kugel, die um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert.	$J = \frac{2}{5} m \cdot r^{2}$
	Ein Quader, der um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert, die parallel zu seinen Kanten c liegt.	$J = \frac{1}{12} m \cdot (a^{2} + b^{2})$
	Ein massiver Kegel, der um seine Achse rotiert.	$J = \frac{3}{10} m \cdot r^{2}$
	Ein Kegelmantel, der um seine Achse rotiert. Die Gleichheit mit dem Trägheitsmoment eines Vollzylinders kann man sich so vorstellen, dass man jeden Kegelmantel zu einer Kreisscheibe „plattdrücken“ kann, ohne sein Trägheitsmoment zu verändern.	$J = \frac{1}{2} m \cdot r^{2}$
	Ein massiver Kegelstumpf, der um seine Achse rotiert.	$J = \frac{3}{10} m \cdot \frac{(r_{1}^{5} - r_{2}^{5})}{(r_{1}^{3} - r_{2}^{3})}$
	Eine vierseitige, regelmäßige, massive Pyramide, die um ihre Symmetrieachse rotiert.	$J = \frac{1}{5} m \cdot r^{2} = \frac{1}{10} m l^{2}$
	Volltorus mit dem Radius $R$ (rot) und der halben Dicke $r$ (gelb), der um die Symmetrieachse rotiert. (Der Radius $R$ ist so gemeint, dass der Außenradius des Torus $R + r$ ergibt)	$J = m (\frac{3}{4} \cdot r^{2} + R^{2})$