प्रत्यावर्ती श्रेणी

साँचा:No footnotesसाँचा:कलन गणित में प्रत्यावर्ती श्रेणी निम्न प्रकार की अनन्त श्रेणी है:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$ or $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{a}_n$

जहाँ  n के सभी मानों के लिए a_n > 0 है। एक व्यापक पद का चिह्नप्रत्यावर्ती रूप से धनात्मक और ऋणात्मक होता है।

प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण

साँचा:Main "लियबनिज़ परीक्षण" अथवा प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण के रूप में ज्ञात प्रमेय के अनुसार श्रेणी अभिसरीत होगी यदि और केवल यदि पद a_n एकदिष्टतः शून्य की ओर अग्रसर हो।

उपपत्ति: माना कि अनुक्रम $a_n$ शून्य की ओर अग्रसर है तथा यह एकदिष्टतः ह्रसमान है। यदि $m$ विषम है और $m<n$, तब हम $S_m-S_n<a_m$ निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं:

$\begin{array}{cc}{S}_m-S_n& =\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{a}_k-\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k=\sum _{k=m+1}^n(-1{)}^k{a}_k\\ & =a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_n\\ & =a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_n\le a_{m+1}\le a_m.\end{array}$

चूँकि $a_n$ एकदिष्टतः ह्रसमान है अतः पद $-(a_m-a_{m+1})$ ऋणात्मक है। अतः अन्त में हमें $S_m-S_n\le a_m$ असमता प्राप्त होती है। इसी प्रकार यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि $-a_m\le S_m-S_n$ है। चूँकि $a_m$ शुन्य ($0$) की ओर अग्रसर है, कॉशी समीकरण के अनुसार आंशिक संकलन $S_m$ प्राप्त होता है अर्थात श्रेणी अभिसरित होती है।

सन्दर्भ

• साँचा:MathWorld