हरात्मक संख्या

हरात्मक संख्या $H_{n,1}$ जहाँ $n=\lfloor x\rfloor$ (लाल रेखा) अपनी उपगामी सीमा $\gamma +\ln [x]$ (नीली रेखा) के साथ।

गणित में, nवीं हरात्मक संख्या प्रथम n प्राकृत संख्याओं के व्युत्क्रम का संकलन है। सामान्यतः इसे H_n से प्रदर्शित करते हैं:

$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}.$

यह इन प्राकृत संख्याओं के हरात्मक माध्य के व्युत्क्रम का n गुणा भी होता है।

हरात्मक संख्याओं में अंतर्निहित तत्समक

परिभाषानुसार हरात्मक संख्याएं पुनरावृत्ति सम्बंध को सन्तुष्ट करते हैं:

$H_n=H_{n-1}+\frac{1}{n}.$

वे निम्न तत्समक को भी सन्तुष्ट करते हैं

$\sum _{k=1}^n{H}_k=(n+1)H_n-n.$

गणना

ऑयलर द्वारा प्रतिपादित समाकल निरूपण

$H_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx.$

यह सरल बीजगणितीय तत्समकता का परिणाम है

$\frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}.$

सरल समाकल सूत्र x = 1−u,H_n के लिए चारु संचयात्मक वाक्यांश निम्न है

$\begin{array}{cc}{H}_n& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx\\ & =-\underset{1}{\overset{0}{\int }}\frac{1-(1-u{)}^n}{u}du\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-(1-u{)}^n}{u}du\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}[\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{k-1}]du\\ & =\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{k-1}du\\ & =\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{1}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}).\end{array}$

रेट्केस तत्समकता में $x_1=1,\dots ,x_n=n$ लिखने और ${\mathrm{\Pi }}_k(1,\dots ,n)=(-1{)}^{n-k}(k-1)!(n-k)!$ का उपयोग करने पर हमें निम्न निरूपण प्राप्त होता है $H_n=H_{n,1}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=(-1{)}^{n-1}n!\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2{\mathrm{\Pi }}_k(1,\dots ,n)}=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{1}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}).$

ये भी देखें

• हरात्मक श्रेणी

बाहरी कड़ियाँ

• Wolfram Mathworld में हरात्मक संख्या

सन्दर्भ

• ऑर्थर टी॰ बेंजामिन, ग्रेगरी ओ॰ प्रेस्टन, जेनिफर जे॰ क्विन, A Stirling Encounter with Harmonic Numbers, (2002) मैथमेटिक्स पत्रिका, 75 (2) pp 95–103.
• डोनाल्ड नुथ. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp. 75–79.
• Ed Sandifer, How Euler Did It -- Estimating the Basel problem (2003)
• साँचा:Mathworld
• Peter Paule and Carsten Schneider, Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities, (2003) Adv. in Appl. Math. 31(2), pp. 359–378.
• Wenchang CHU, A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers, (2004) The Electronic Journal of Combinatorics, 11, #N15.
• Ayhan Dil and Istvan Mezo, A Symmetric Algorithm for Hyperharmonic and Fibonacci Numbers, (2008) Applied Mathematics and Computation 206, 942—951.
• Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard Inequality", Acta Sci. Math. (Szeged), 74 (2008), pages 95–106.