इष्टतम नियंत्रण का स्रोत देखें

'''इष्टतम नियंत्रण''' (Optimal control), [[नियंत्रण]] की नीति (कन्ट्रोल स्ट्रेटिजी) निर्धारित करने की एक गणितीय [[इष्टतमकरण|इष्टतमीकरण]] विधि है। यह [[विचरण-कलन]] (calculus of variations) का विस्तार है जिसका विकास १९५० के दशक में लेव पोंट्रयागिन ( Lev Pontryagin) तथा रिचर्ड बेलमान (Richard Bellman) ने किया था।
इष्टतम नियंत्रण के अनुप्रयोग विविध क्षेत्रों में हो रहे हैं, जैसे- [[अभियान्त्रिकी|इंजीनियरी]], [[आर्थिक नीति|अर्थनीति]], [[जीव विज्ञान|जीवविज्ञान]], [[पर्यावरण]], [[वित्त]], [[प्रबन्धन]], [[चिकित्सा]] आदि। 

===उदाहरण : सीमित काल ===
किसी [[खान]] मालिक को निर्नय लेना है कि खान से खनिज किस गति से निकाले जांय। उसके पास खनन का स्वामित्व दिनांक <math>0</math> से दिनांक  <math>T</math> तक है। दिनाक <math>0</math> को खान में अयस्क की मात्रा  <math>x_0</math> है।  अयस्क की वर्तमान मात्रा <math>x(t)</math> उसी गति से घटती जाती है जिस गति <math>u(t)</math> से खनिज निकाला जाता है। खान से अयस्क निकालने का खर्च <math>u(t)^2/x(t)</math> है और अयस्क का मूल्य नियतांक <math>p</math> है।  समय <math>T</math> पर खान में जो अयस्क बच जाता है उसका कोई मूल्य नहीं रहेगा।  खान स्वामी, अपने स्वामित्व काल में अपना लाभ अधिकतम करने के लिये खनन की दर <math>u(t)</math> कैसी रखे?

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|- border=0;
| 1. Discrete-time version

The manager maximizes profit <math>\Pi</math>:
:<math>\Pi = \sum_{t=0}^{T-1} \left[ pu_t - \frac{u_t^2}{x_t} \right] </math>
subject to the law of evolution for the state variable <math>x_t</math>
:<math>x_{t+1} - x_t = - u_t\!</math>

Form the Hamiltonian and differentiate:
:<math>H = pu_t - \frac{u_t^2}{x_t} - \lambda_{t+1} u_t</math>
::<math>\frac{\partial H}{\partial u_t} = p - \lambda_{t+1} - 2\frac{u_t}{x_t} = 0</math>
::<math>\lambda_{t+1} - \lambda_t = -\frac{\partial H}{\partial x_t} = -\left( \frac{u_t}{x_t} \right)^2</math>

As the mine owner does not value the ore remaining at time <math>T</math>,
::<math>\lambda_T = 0\!</math>

Using the above equations, it is easy to solve for the <math>x_t</math> and <math>\lambda_t</math> series
:<math>\lambda_t = \lambda_{t+1} + \frac{(p-\lambda_{t+1})^2}{4}</math>
:<math>x_{t+1} = x_t \frac{2 - p + \lambda_{t+1}}{2}</math>
and using the initial and turn-T conditions, the <math>x_t</math> series can be solved explicitly, giving <math>u_t</math>.

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| 2. Continuous-time version

The manager maximizes profit <math>\Pi</math>:
:<math>\Pi = \int_0^T \left[ pu(t) - \frac{u(t)^2}{x(t)} \right] dt </math>
subject to the law of evolution for the state variable <math>x(t)</math>
:<math> \dot x(t) = - u(t) </math>

Form the Hamiltonian and differentiate:
:<math>H = pu(t) - \frac{u(t)^2}{x(t)} - \lambda(t) u(t) </math>
::<math>\frac{\partial H}{\partial u} = p - \lambda(t) - 2\frac{u(t)}{x(t)} = 0</math>
::<math>\dot\lambda(t) = -\frac{\partial H}{\partial x} = -\left( \frac{u(t)}{x(t)} \right)^2</math>

As the mine owner does not value the ore remaining at time <math>T</math>,
::<math>\lambda(T) = 0</math>

Using the above equations, it is easy to solve for the differential equations governing <math>u(t)</math> and <math>\lambda(t)</math>
:<math>\dot\lambda(t) = -\frac{(p-\lambda(t))^2}{4}  </math>
:<math>u(t) = x(t) \frac{p- \lambda(t)}{2}</math>
and using the initial and turn-T conditions, the functions can be solved to yield
:<math>x(t) = \frac{(4-pt+pT)^2}{(4+pT)^2} x_0  </math>
|}

==इन्हें भी देखें==
*[[अरैखिक नियंत्रण]]
*[[इष्टतमकरण|इष्टतमीकरण]] (ऑप्टिमाइजेशन)
*[[गतिक क्रमादेशन]] (Dynamic programming)
*[[मॉडल द्वारा अनुमानित नियंत्रण]]

[[श्रेणी:नियंत्रण सिद्धान्त]]

{{आधार}}