इष्टतम नियंत्रण

इष्टतम नियंत्रण (Optimal control), नियंत्रण की नीति (कन्ट्रोल स्ट्रेटिजी) निर्धारित करने की एक गणितीय इष्टतमीकरण विधि है। यह विचरण-कलन (calculus of variations) का विस्तार है जिसका विकास १९५० के दशक में लेव पोंट्रयागिन ( Lev Pontryagin) तथा रिचर्ड बेलमान (Richard Bellman) ने किया था। इष्टतम नियंत्रण के अनुप्रयोग विविध क्षेत्रों में हो रहे हैं, जैसे- इंजीनियरी, अर्थनीति, जीवविज्ञान, पर्यावरण, वित्त, प्रबन्धन, चिकित्सा आदि।

उदाहरण : सीमित काल

किसी खान मालिक को निर्नय लेना है कि खान से खनिज किस गति से निकाले जांय। उसके पास खनन का स्वामित्व दिनांक $0$ से दिनांक $T$ तक है। दिनाक $0$ को खान में अयस्क की मात्रा $x_0$ है। अयस्क की वर्तमान मात्रा $x(t)$ उसी गति से घटती जाती है जिस गति $u(t)$ से खनिज निकाला जाता है। खान से अयस्क निकालने का खर्च $u(t{)}^2/x(t)$ है और अयस्क का मूल्य नियतांक $p$ है। समय $T$ पर खान में जो अयस्क बच जाता है उसका कोई मूल्य नहीं रहेगा। खान स्वामी, अपने स्वामित्व काल में अपना लाभ अधिकतम करने के लिये खनन की दर $u(t)$ कैसी रखे?

1. Discrete-time version The manager maximizes profit $\mathrm{\Pi }$: $\mathrm{\Pi }=\sum _{t=0}^{T-1}[p{u}_t-\frac{u_t^2}{x_t}]$ subject to the law of evolution for the state variable $x_t$ $x_{t+1}-x_t=-u_t$ Form the Hamiltonian and differentiate: $H=p{u}_t-\frac{u_t^2}{x_t}-{\lambda }_{t+1}{u}_t$ $\frac{\partial H}{\partial u_t}=p-{\lambda }_{t+1}-2\frac{u_t}{x_t}=0$ ${\lambda }_{t+1}-{\lambda }_t=-\frac{\partial H}{\partial x_t}=-{\left(\frac{u_t}{x_t}\right)}^2$ As the mine owner does not value the ore remaining at time $T$, ${\lambda }_T=0$ Using the above equations, it is easy to solve for the $x_t$ and ${\lambda }_t$ series ${\lambda }_t={\lambda }_{t+1}+\frac{(p-{\lambda }_{t+1}{)}^2}{4}$ $x_{t+1}=x_t\frac{2-p+{\lambda }_{t+1}}{2}$ and using the initial and turn-T conditions, the $x_t$ series can be solved explicitly, giving $u_t$.		2. Continuous-time version The manager maximizes profit $\mathrm{\Pi }$: $\mathrm{\Pi }=\underset{0}{\overset{T}{\int }}[pu(t)-\frac{u(t{)}^2}{x(t)}]dt$ subject to the law of evolution for the state variable $x(t)$ $\dot{x}(t)=-u(t)$ Form the Hamiltonian and differentiate: $H=pu(t)-\frac{u(t{)}^2}{x(t)}-\lambda (t)u(t)$ $\frac{\partial H}{\partial u}=p-\lambda (t)-2\frac{u(t)}{x(t)}=0$ $\dot{\lambda }(t)=-\frac{\partial H}{\partial x}=-{\left(\frac{u(t)}{x(t)}\right)}^2$ As the mine owner does not value the ore remaining at time $T$, $\lambda (T)=0$ Using the above equations, it is easy to solve for the differential equations governing $u(t)$ and $\lambda (t)$ $\dot{\lambda }(t)=-\frac{(p-\lambda (t){)}^2}{4}$ $u(t)=x(t)\frac{p-\lambda (t)}{2}$ and using the initial and turn-T conditions, the functions can be solved to yield $x(t)=\frac{(4-pt+pT{)}^2}{(4+pT{)}^2}{x}_0$

इन्हें भी देखें

• अरैखिक नियंत्रण
• इष्टतमीकरण (ऑप्टिमाइजेशन)
• गतिक क्रमादेशन (Dynamic programming)
• मॉडल द्वारा अनुमानित नियंत्रण