वेग

किसी वस्तु का वेग निर्देश तंत्र में उसकी स्थिति में परिवर्तन की दर होती है और यह समय का फलन होती है। किसी वस्तु की चाल और गति की दिशा के साथ लेने पर वेग तुल्य होती है (जैसे 60 किमी प्रति घण्टा उत्तर की तरफ)। वेग चिरसम्मत भौतिकी में पिण्डों की गति को वर्णित करने वाली शाखा में गतिकी का एक मूलभूत अवधारणा है।

वेग एक सदिश भौतिक राशि है; जिसके लिए परिमाण और दिशा दोनों आवश्यक हैं।

औसत वेग

वेग को समय के सापेक्ष स्थिति परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है। औसत वेग वह स्थिर वेग है जो समान परिणामी विस्थापन को एक ही समयान्तराल में कुछ समय अवधि Δt पर एक चर वेग v(t) के रूप में प्रदान करेगा। औसत वेग की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

$\overline{𝒗}=\frac{\mathrm{\Delta }𝒙}{\mathrm{\Delta }t}$

औसत वेग सर्वदा किसी वस्तु की औसत गति से कम या उसके समान होता है। यह अनुभव करके देखा जा सकता है कि दूरी सदा बढ़ रही है, विस्थापन परिमाण में वृद्धि या कमी के साथ-साथ दिशा बदल सकता है।

विस्थापन-समय (x बनाम t) ग्राफ़ के सन्दर्भ में, तात्क्षणिक वेग (या, केवल वेग) को किसी भी बिन्दु पर वक्र की स्पर्शरेखा के और औसत वेग को समय अवधि की सीमाओं के समान t निर्देशांक वाले दो बिन्द्वों के बीच छेदक रेखा के प्रावण्य के रूप में माना जा सकता है।

औसत वेग की गणना वेग के समय समाकलज के रूप में की जा सकती है:

$\overline{𝒗}=\frac{\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}𝒗(t)dt}{t-t_0}$

विशेष स्थितियाँ

• जब एक कण विभिन्न समान वेगों v₁, v₂, v₃..., v_n के साथ विभिन्न समयान्तरालों t₁, t₂, t₃..., t_n में चलता है, तो यात्रा के कुल समय में इसकी औसत वेग इस प्रकार दी जाती है:

$\overline{𝒗}=\frac{v_1{t}_1+v_2{t}_2+v_3{t}_3+\dots +v_n{t}_n}{t_1+t_2+t_3+\dots +t_n}$

यदि t₁=t₂=t₃=...=t, तो औसत वेग सभी वेगों के समान्तर माध्य से दिया जाता है

$\overline{𝒗}=\frac{v_1+v_2+v_3+\dots +v_n}{n}$

• जब एक कण विभिन्न दूरी s₁, s₂, s₃,..., s_n क्रमशः विभिन्न वेगों v₁, v₂, v₃,..., v_n के साथ तय करता है तो कुल दूरी पर कण की औसत वेग इस प्रकार दी जाती है:

$\overline{𝒗}=\frac{s_1+s_2+s_3+\dots +s_n}{t_1+t_2+t_3+\dots +t_n}=\frac{s_1+s_2+s_3+\dots +s_n}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}+\frac{s_3}{v_3}+\dots +\frac{s_n}{v_n}}$

यदि s₁=s₂=s₃=...=s, तो औसत वेग सभी वेगों के हरात्मक माध्य से दिया जाता है:

$\overline{𝒗}=n{(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}+\dots +\frac{1}{v_n})}^{-1}$

तात्क्षणिक वेग

समय के साथ वेग का ग्राफ । इसी ग्राफ में त्वरण a (हरे रंग में स्पर्शी रेकाएँ) और विस्थापन s (वक्र के नीचे स्थित पीला क्षेत्र) भी दिखाये गए हैं।

किसी क्षण पर वस्तु वेग को उसका तात्क्षणिक वेग कहते हैं। जब कोई वस्तु समान समयान्तराल में असमान विस्थापन करती है तो वस्तु के वेग को परिवर्तित वेग कहते हैं। परिवर्ती वेग की दशा में वस्तु का तात्क्षणिक वेग नियत नहीं रहता, बल्कि परिवर्ती होता है।

गतिमान वस्तु का तात्क्षणिक वेग उसके औसत वेग के समान होगा यदि उसके दो समयों (t तथा (t + ∆t)) के मध्य का अन्तराल (∆t) अनन्तसूक्ष्म हो। यदि हम v को वेग और x को विस्थापन (स्थिति में परिवर्तन) सदिश मानते हैं, तो हम किसी विशेष समय t पर किसी कण या वस्तु के तात्क्षणिक वेग को उपरोक्त कथन के गणितीय विधि से निम्न प्रकार से x का t के सापेक्ष अवकलन गुणांक के रूप में व्यक्त करते हैं:

$𝒗=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }𝒙}{\mathrm{\Delta }t}=D_t𝒙.$

इस अवकल समीकरण से, एक विमीय मामले में यह देखा जा सकता है कि वेग बनाम समय (v बनाम t ग्राफ) के तहत क्षेत्र विस्थापन, x है। कलन के विधि में, वेग फलन v(t) का समाकलज, विस्थापन फलन x(t) है। चित्र में, यह वक्र निरूपित पीले क्षेत्र के अनुरूप है (विस्थापन हेतु एक वैकल्पिक संकेतन है)।

$𝒙=\int 𝒗d𝑡.$

चूँकि समय के सापेक्ष स्थिति का अवकलज स्थिति में परिवर्तन (मीटर में) को समय में परिवर्तन (सेकण्ड में) से विभाजित करता है, इसलिए वेग मीटर प्रति सेकण्ड (m/s) में मापा जाता है। यद्यपि एक तात्क्षणिक वेग की अवधारणा पहले प्रति-सहज ज्ञान युक्त लग सकती है, इसे उस वेग के रूप में सोचा जा सकता है जिस पर वस्तु यात्रा करना जारी रखेगी यदि वह उस क्षण में त्वरण करना बन्द कर दे।

इन्हें भी देखें

• विस्थापन
• त्वरण
• गति के समीकरण
• आपेक्षिक वेग
• चाल
• बल