खंडशः समाकलन

कैलकुलस में खंडश: समाकलन (integration by parts) एक प्रमेय है जो दो फलनों के गुणनफल के समाकल को निम्नलिखित प्रकार से व्यक्त करता है-

$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime }(x)dx$

उपरोक्त को छोटे रूप में निम्नलिखित ढंग से भी लिखा जाता है:

$\int udv=uv-\int vdu.$

उदाहरण

• $\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=(x-1)e^x$ + C

• $\underset{1}{\overset{2}{\int }}x\ln (x)dx={[\frac{x^2}{2}\ln (x)]}_1^2-\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx$

$\begin{array}{cc}\int e^x\cdot (2-x^2)\mathrm{d}x& =e^x\cdot (2-x^2)-\int e^x\cdot (-2x)\mathrm{d}x\\ & =e^x\cdot (2-x^2)+e^x\cdot 2x-\int 2\cdot e^x\mathrm{d}x\\ & =e^x\cdot (2-x^2)+e^x\cdot 2x-2\cdot e^x+C\\ & =e^x\cdot (2-x^2+2x-2)+C\\ & =e^x\cdot (2x-x^2)+C.\end{array}$

• $\int {\sin }^{5}x{\cos }^{2}xdx.$

${\sin }^{5}x{\cos }^{2}x=({\sin }^{2}x{)}^2{\cos }^{2}x\sin x=(1-{\cos }^{2}x{)}^2{\cos }^{2}x\sin x$

$\begin{array}{c}\int {\sin }^{5}x{\cos }^{2}xdx=\int {\sin }^{4}x{\cos }^{2}x\sin xdx=\\ \int (1-{\cos }^{2}x{)}^2{\cos }^{2}x\sin xdx=\\ \int (1-u^2{)}^2{u}^2(-du)=-\int (u^2-2u^4+u^6)du=\\ -(\frac{u^3}{3}-\frac{2u^5}{5}+\frac{u^7}{7})+C=\\ -\frac{1}{3}{\cos }^{3}x+\frac{2}{5}{\cos }^{5}x-\frac{1}{7}{\cos }^{7}x+C\end{array}$

इन्हें भी देखें

• समाकलन