लजान्द्र रूपान्तर

लजान्द्र रूपान्तर की ज्यामितीय व्याख्या

गणित में किसी वास्तविक मान वाले, तथा सभी बिन्दुओं पर अवकलनीय फलन f तथा g में निम्नलिखित सम्बन्ध हो तो g को f का लजान्द्र रूपान्तर (LegendreTransform) कहा जाता है। इस रूपान्तर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ आद्रियें मारि लजान्द्र (Adrien-Marie Legendre) के नाम पर पड़ा है।

$Df={\left(Dg\right)}^{-1}$

जहाँ D , अवकलज (डिफरेंशियल) का प्रतीक है तथा दाहिनी ओर आने वाला -1 , प्रतिलोम फलन को सूचित कर रहा है। यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि g , f का लजान्द्र रूपान्तर हो तो f, g का लजान्द्र रूपान्तर होगा

उदाहरण के लिये, फलन $f(x)=\frac{x^2}{2}$ तथा फलन $g(p)=-\frac{p^2}{2}$ एक दूसरे के लजान्द्र रूपान्तर हैं।

एक विशेष स्थिति में, यदि फलन f एक उत्तल फलन (कान्वेक्स फंक्शन) हो तो इसका लजान्द्र रूपान्तर ƒ^* निम्नलिखित सम्बन्ध द्वारा अभिव्यक्त किया जा सकता है-

$f^{\star }(p)=\underset{x}{\sup }(px-f(x)).$

उपयोग

• (१) ऊष्मागतिकी में - ऊष्मागतिक विभव प्राप्त करने के लिये,
• (२) क्लासिकल यांत्रिकी में -- to derive the Hamiltonian formalism out of the Lagrangian formalism
• (३) सांख्यिकीय यांत्रिकी में,
• (३) अनेक चरों वाले अवकल समीकरणों का हल प्राप्त करने के लिये।

उदाहरण

प्रथम उदाहरण

Let साँचा:Math defined on साँचा:Math, where साँचा:Math is a fixed constant.

For साँचा:Math fixed, the function साँचा:Math of साँचा:Mvar has the first derivative साँचा:Math and second derivative साँचा:Math; there is one stationary point at साँचा:Math, which is always a maximum. Thus, साँचा:Math and

$f^{*}(x^{*})=\frac{{x^{*}}^2}{4c}$

Clearly,

$f^{**}(x)=\frac{1}{4(1/4c)}{x}^2=c{x}^2,$

namely साँचा:Math.

द्वितीय उदाहरण

Let साँचा:Math for साँचा:Math.

For साँचा:Math fixed, साँचा:Math is continuous on साँचा:Mvar compact, hence it always takes a finite maximum on it; it follows that साँचा:Math. The stationary point at साँचा:Math is in the domain साँचा:Math if and only if साँचा:Math, otherwise the maximum is taken either at साँचा:Math, or साँचा:Math. It follows that

$f^{*}(x^{*})=\{\begin{array}{cc}2x^{*}-4,& x^{*}<4\\ \frac{{x^{*}}^2}{4},& 4⩽x^{*}⩽6,\\ 3x^{*}-9,& x^{*}>6\end{array}$ .

तृतीय उदाहरण

The function साँचा:Math is convex, for every साँचा:Mvar (strict convexity is not required for the Legendre transformation to be well defined). Clearly साँचा:Math is never bounded from above as a function of साँचा:Mvar, unless साँचा:Math. Hence साँचा:Math is defined on साँचा:Math} and साँचा:Math.

One may check involutivity: of course साँचा:Math is always bounded as a function of साँचा:Math}, hence साँचा:Math. Then, for all साँचा:Mvar one has

$\underset{x^{*}\in \{c\}}{\sup }(x{x}^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,$

and hence साँचा:Math.

चतुर्थ उदाहरण (अनेक चर)

Let

$f(x)=⟨x,Ax⟩+c$

be defined on साँचा:Math, where साँचा:Mvar is a real, positive definite matrix. Then साँचा:Mvar is convex, and

$⟨p,x⟩-f(x)=⟨p,x⟩-⟨x,Ax⟩-c,$

has gradient साँचा:Math and Hessian साँचा:Math, which is negative; hence the stationary point साँचा:Math is a maximum. We have साँचा:Math, and

$f^{*}(p)=\frac{1}{4}⟨p,A^{-1}p⟩-c$ .

गुण

$f(x)$	$\mathrm{dom}f$	$f^{\star }(x^{\star })$	$\mathrm{dom}{f}^{\star }$	शर्तें
$af(x)$	$\mathrm{dom}f$	$a{f}^{\star }(x^{\star }/a)$	$a\cdot \mathrm{dom}{f}^{\star }$	$a>0$
$f(ax)$	$a^{-1}\cdot \mathrm{dom}f$	$f^{\star }(x^{\star }/a)$	$a\cdot \mathrm{dom}{f}^{\star }$	$a>0$
$f(x)+a$	$\mathrm{dom}f$	$f^{\star }(x^{\star })-a$	$\mathrm{dom}{f}^{\star }$	$a\in ℝ$
$f(x-a)$	$a+\mathrm{dom}f$	$f^{\star }(x^{\star })+a{x}^{\star }$	$\mathrm{dom}{f}^{\star }$	$a\in ℝ$
$f(x)+ax$	$\mathrm{dom}f$	$f^{\star }(x^{\star }-a)$	$a+\mathrm{dom}{f}^{\star }$	$a\in ℝ$
$f(x)+g(x)$	$\mathrm{dom}f\cap \mathrm{dom}g$	$(f^{\star }{\star }_{\text{inf}}{g}^{\star })(x^{\star })$	$\mathrm{dom}{f}^{\star }+\mathrm{dom}{g}^{\star }$	$(f{\star }_{\text{inf}}g)(x)=\underset{y}{\inf }\{f(x-y)+g(y)\}$
$(f{\star }_{\text{inf}}g)(x)$	$\mathrm{dom}f+\mathrm{dom}g$	$f^{\star }(x^{\star })+g^{\star }(x^{\star })$	$\mathrm{dom}{f}^{\star }\cap \mathrm{dom}{g}^{\star }$	$(f{\star }_{\text{inf}}g)(x)=\underset{y}{\inf }\{f(x-y)+g(y)\}$
$ax+b$	$ℝ$	$-b$	$\{a\}$
$|x{|}^p/p$	$ℝ$	$|x^{\star }{|}^{p^{\star }}/p^{\star }$	$ℝ$	$1/p+1/p^{\star }=1$, $p>1$
$-x^p/p$	$[0,\mathrm{\infty })$	$-|x^{\star }{|}^{p^{\star }}/p^{\star }$	$(-\mathrm{\infty },0]$	$1/p+1/p^{\star }=1$, $p<1$
$\exp (x)$	$ℝ$	$x^{\star }(\ln (x^{\star })-1)$	${ℝ}^{+}$
$x\ln (x)$	${ℝ}^{+}$	$\exp (x-1)$	$ℝ$
$-1/2-\ln x$	${ℝ}^{+}$	$-1/2-\ln |x^{\star }|$	${ℝ}^{-}$
$x\exp (x+1)$	$ℝ$	$x^{\star }(W(x^{\star })-1{)}^2/W(x^{\star })$	$[-1/e,\mathrm{\infty })$	लैम्बर्ट का W फलन

इन्हें भी देखें

• लाप्लास रूपान्तर
• फूर्ये रूपान्तर