फूर्ये रूपान्तर

फूर्ये रूपान्तर (Fourier transform) एक गणितीय रूपान्तर है जो भौतिकी एवं इंजीनियरी में अत्यन्त उपयोगी है। इसका नाम जोसेफ फूर्ये के नाम पर पड़ा है।

फूर्ये रूपान्तर समय $f(t)$ के किसी फलन को एक नए फलन $\hat{f}orF,$ में रूपन्तरित करता है जिसका अर्गुमेन्ट आवृत्ति (रेडियन प्रति सेकेण्ड) है। इस नए फलन F को फलन f का फूर्ये रूपान्तर या 'फ्रेक्वेंसी स्पेक्ट्रम' कहते हैं।

$ℱ\{f(t)\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ı\omega t}f(t)\mathrm{d}t$

प्रमुख सूत्र

	फलन	रूपान्तर	टिप्पणी
1	$af(t)+bg(t)$	$aF(\omega )+bG(\omega )$	रैखिकता
2	$f(t-a)$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	विलम्ब (delay)
3	$e^{iat}f(t)$	$F(\omega -a)$	आवृत्ति शिफ्ट
4	$f(at)$	$|a{|}^{-1}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$	यदि $a$ बहुत बड़ा हो तो $f(at)$ 0 के आसपास केन्द्रित होगा और $|a{|}^{-1}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$ 'चपटा' हो जाएगा।
5	$\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}$	$(i\omega {)}^{n}F(\omega )$	Свойство преобразования Фурье от $n$
6	$t^{n}f(t)$	$i^n\frac{d^{n}F(\omega )}{d{\omega }^n}$
7	$(f*g)(t)$	$\sqrt{2\pi }F(\omega )G(\omega )$	फलन $f*g$ का अर्थ है - फलन $f$ और $g$ का कॉनवोलुशन.
8	$f(t)g(t)$	$\frac{(F*G)(\omega )}{\sqrt{2\pi }}$
9	$\delta (t)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$	$\delta (t)$ का अर्थ है - डिरैक डेल्टा फलन
10	$1$	$\sqrt{2\pi }\delta (\omega )$
11	$t^n$	$i^n\sqrt{2\pi }{\delta }^{(n)}(\omega )$
12	$e^{iat}$	$\sqrt{2\pi }\delta (\omega -a)$
13	$\cos (at)$	$\sqrt{2\pi }\frac{\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}$	1 और 12 का उपसाध्य ; आयलर प्रमेय से - $\cos (at)=\frac{1}{2}(e^{iat}+e^{-iat})$
14	$\sin (at)$	$\sqrt{2\pi }\frac{\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}$
15	$\exp (-a{t}^2)$	$\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp \left(\frac{-{\omega }^2}{4a}\right)$	इससे स्पष्ट है कि गासियन फलन $\exp (-t^2/2)$ का फूर्ये रूपान्तर भी गासियन फलन ही होगा।
16	$W\sqrt{\frac{2}{\pi }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(Wt)$	$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{\omega }{2W}\right)$	रेक्टैगुलर फलन अर्थात्, आदर्श लो-पास-फिल्टर
17	$\frac{1}{t}$	$-i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\mathrm{sgn}(\omega )$	यहाँ $\mathrm{sgn}(\omega )$ — sgn फलन (चिह्न फलन) है।
18	$\frac{1}{t^n}$	$-i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{(-i\omega {)}^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{sgn}(\omega )$	17 का सामान्यीकृत रूप
19	$\mathrm{sgn}(t)$	$\sqrt{\frac{2}{\pi }}(i\omega {)}^{-1}$	17 का द्वैत
20	$\sqrt{2\pi }\theta (t)$	$\frac{1}{i\omega }+\pi \delta (\omega )$	यहाँ $\theta (t)$ — हेविसाइड फलन है।

इन्हें भी देखें

• फूर्ये श्रेणी

बाहरी कड़ियाँ

• The Discrete Fourier Transformation (DFT): Definition and numerical examples — A Matlab tutorial
• The Fourier Transform Tutorial Site (thefouriertransform.com)
• Fourier Series Applet (Tip: drag magnitude or phase dots up or down to change the wave form).
• Stephan Bernsee's FFTlab (Java Applet)
• Stanford Video Course on the Fourier Transform
• साँचा:Springer
• साँचा:MathWorld
• The DFT “à Pied”: Mastering The Fourier Transform in One Day at The DSP Dimension
• An Interactive Flash Tutorial for the Fourier Transform