प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन

सरल पथरी उदाहरण

कैलकुलस में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by substitution) , समाकलन की एक प्रमुख विधि है। वस्तुतः यह अवकलन के शृंखला नियम का उल्टा (counterpart) है।

परिभाषा

$\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt.$

उदाहरण 1

निम्नलिखित समाकलन पर विचार कीजिये।

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx$

हम यह प्रतिस्थापन करते हैं : u = ϕ(x) = x² + 1, जिससे du = 2x dx प्राप्त होता है। अतः; x dx = ½du

$\begin{array}{cc}\underset{x=0}{\overset{x=2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx& =\frac{1}{2}\underset{u=1}{\overset{u=5}{\int }}\cos (u)du\\ & =\frac{1}{2}(\sin (5)-\sin (1)).\end{array}$

प्रतिस्थापन करते हुए समाकलन की सीमाओं को बदलना नहीं भूलना चाहिये। ध्यान दें कि निचली सीमा x = 0 के स्थान पर u = 0² + 1 = 1 रखा गया है। इसी तरह ऊपरी सीमा x = 2 के स्थान पर u = 2² + 1 = 5 रखा गया है

Integration e^2logsecx

इन्हें भी देखें

• चर परिवर्तन
• समाकलन