उल्लेखनीय सर्वसमिकाएँ

यहाँ कुछ प्रमुख गुणनफल दिये गये हैं जिनके प्रयोग से गुणनखण्ड एवं अन्य कार्यों में बहुत सुविधा होती है।

उभयनिष्ट गुणक (common factor)

उभयनिष्ट गुणक का चित्रात्मक निरूपण

$c(a+b)=ca+cb$

उदाहरण

$3x(4x+6y)=12x^2+18xy$

द्विपद का वर्ग

द्विपद के वर्ग का चित्रात्मक निरूपण

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

त्रिपदी व्यंजक : $a^2+2ab+b^2$, पूर्ण वर्ग त्रिपद कहलाता है।

इसी प्रकार,

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

उदाहरण

$(2x-3y{)}^2=(2x{)}^2+2(2x)(-3y)+(-3y{)}^2$

सरल करने पर:

$(2x-3y{)}^2=4x^2-12xy+9y^2$

दो द्विपदों का गुणन जिनमें एक समान पद हो

चित्रात्मक निरूपण

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

उदाहरण

$(3x+4)(3x-7)=(3x)(3x)+(3x)(-7)+(3x)(4)+(4)(-7)$

पदों को एकत्र करने पर:

$(3x+4)(3x-7)=9x^2-21x+12x-28$

या:

$(3x+4)(3x-7)=9x^2-9x-28$

दो पदों के योग एवं अन्तर का गुणनफल (वर्गान्तर सूत्र)

'द्विपद युग्म' का गुणनफल

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

उदाहरण

$(3x+5y)(3x-5y)=$

$(3x)(3x)+(3x)(-5y)+(5y)(3x)+(5y)(-5y)$

पदों को एकत्र करने पर:

$(3x+5y)(3x-5y)=9x^2-25y^2$

बहुपद का वर्ग

एक त्रिपद के वर्ग का चित्रात्मक निरूपण

$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$

$(a+b+c+d{)}^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$

उदाहरण

$(3x+2y-5z{)}^2=(3x+2y-5z)(3x+2y-5z)$

गुणा करने पर:

$(3x+2y-5z{)}^2=3x\cdot 3x+3x\cdot 2y+3x\cdot (-5z)$

$+2y\cdot 3x+2y\cdot 2y+2y\cdot (-5z)$

$+(-5z)\cdot 3x+(-5z)\cdot 2y+(-5z)\cdot (-5z)$

पदों को एकत्र करने के बाद:

$(3x+2y-5z{)}^2=9x^2+4y^2+25z^2+2(6xy-15xz-10yz)$

या:

$(3x+2y-5z{)}^2=9x^2+4y^2+25z^2+12xy-30xz-20yz$

द्विपद का घन

द्विपद के घन का आयतनों के योग के रूप में चित्रण

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

काशी (Cauchy) सर्वसमिका:

$(a+b{)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

उदाहरण

$(x+2y{)}^3=x^3+3(x{)}^2(2y)+3(x)(2y{)}^2+(2y{)}^3$

पदों का समूह बनाने के बाद:

$(x+2y{)}^3=x^3+6x^{2}y+12x{y}^2+8y^3$

इसी प्रकार,

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

काशी (Cauchy) सर्वसमिका:

$(a-b{)}^3=a^3-b^3-3ab(a-b)$

उदाहरण

$(x-2y{)}^3=x^3-3(x{)}^2(2y)+3(x)(2y{)}^2-(2y{)}^3$

पदों का समूह बनाने के बाद:

$(x-2y{)}^3=x^3-6x^{2}y+12x{y}^2-8y^3$

आर्गण्ड सर्वसमिका (Argand Identity)

$(x^2+x+1)(x^2-x+1)=x^4+x^2+1$

गाउस (Gauss) की सर्वसमिका

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

$a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(a-c{)}^2]$

लिगेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका

$(a+b{)}^2+(a-b{)}^2=2(a^2+b^2)$

$(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab$

$(a+b{)}^4-(a-b{)}^4=8ab(a^2+b^2)$

लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका

$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by{)}^2+(ay-bx{)}^2$

$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz{)}^2+(ay-bx{)}^2+(az-cx{)}^2+(bz-cy{)}^2$

अन्यान्य सर्वसमिकाएँ

घनों का योग

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

घनों का अन्तर

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

nवें घातों का योग

यदि और केवल यदि "n" विषम संख्या हो तो, $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2-\cdots +b^{n-1})$

nवें घातों का अन्तर

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\cdots +b^{n-1})$

निम्नलिखित सूत्र किसी घन को दो वर्गों के अन्तर के रूप में अभिव्यक्त करता है-

$a^3={\left(\frac{(a+1)a}{2}\right)}^2-{\left(\frac{(a-1)a}{2}\right)}^2$

इन्हें भी देखें

• ब्रह्मगुप्त सर्वसमिका
• द्विपद
• त्रिपद
• गुणनखण्ड
• पॉस्कल त्रिभुज