कौशी आव्यूह

गणित में कौशी के नाम से नामकरण किया गया कौशी आव्यूह अथवा कौशी मैट्रिक्स एक m× n का आव्यूह है जहाँ a_ij निम्न प्रकार परिभाषित है

$a_{ij}=\frac{1}{x_i-y_j};x_i-y_j\ne 0,1\le i\le m,1\le j\le n$

जहाँ $x_i$ और $y_j$ क्षेत्र $ℱ$ के अवयव हैं और $(x_i)$ और $(y_j)$ एकैकी अनुक्रम हैं (इनमें पुनरावृत्‍त अवयव समाहित नहीं हैं अर्थात सभी अवयव भिन्न हैं).

कौशी

हिल्बर्ट आव्यूह कौशी आव्यूह की विशेष स्थिति है, जहाँ

$x_i-y_j=i+j-1.$

कौशी आव्यूह का प्रत्येक उपाआव्यूह अपने आप में एक कौशी आव्यूह है।

कौशी सारणिक

साँचा:Main कौशी आव्यूह का सारणिक प्राचलों $(x_i)$ और $(y_j)$ का स्पष्ट रूप से एक परिमेय फलन होगा।

व्यापकीकरण

एक आव्यूह C कौशी स्दृश्य कहलाता है यदि इसे निम्न रूप में लिखा जा सके

$C_{ij}=\frac{r_i{s}_j}{x_i-y_j}.$

X=diag(x_i), Y=diag(y_i) परिभषित करने पर, दोनों कौशी और कौशी सदृश आव्यूह विस्तापन समीकरण सन्तुष्ट करते हैं

$𝐗𝐂-𝐂𝐘=r{s}^{\mathrm{T}}$

(जहां कौशी आव्यूह के लिए $r=s=(1,1,\dots ,1)$)। अतः कौशी स्दृश आव्यूह एक सामान्य विस्थापन आव्यूह है,

ये भी देखें

टोएपलित्ज़ आव्यूह

सन्दर्भ

• साँचा:Cite journal
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