जेड रूपान्तर

गणित एवं संकेत प्रसंस्करण में जेड रूपान्तर (Z-transform) किसी डिस्क्रीट टाइम-डोमेन संकेत को समिश्र (कम्प्लेक्स) आवृत्ति-डोमेन में बदलता है। डिस्क्रीट टाइम-डोमेन संकेत से तात्पर्य ऐसे संकेत से है जो केवल कुछ निश्चित समयों पर अशून्य मान रखता है, शेष समय वह शून्य रहता है।

जेड-रूपान्तर को लाप्लास रूपान्तर का विविक्त-समय अनुरूप (discrete-time equivalent) के रूप में समझा जा सकता है। इसका उपयोग आंकिक संकेत प्रसंस्करण (डीएसपी) एवं आंकिक नियंत्रण (डिजिटल कन्ट्रोल) में किया जाता है।

परिभाषा

द्विपक्षीय Z-रूपान्तर

$X(z)=𝒵\{x[n]\}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$

एकपक्षीय Z-रूपान्तर

$X(z)=𝒵\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}.$

गुण

z-ट्रांसफॉर्म के गुण

	समय-डोमेन्	Z-डोमेन	सिद्धि	ROC
निरूपण	$x[n]={𝒵}^{-1}\{X(z)\}$	$X(z)=𝒵\{x[n]\}$		ROC: $r_2<|z|<r_1$
रैखिकता (Linearity)	$a_1{x}_1[n]+a_2{x}_2[n]$	$a_1{X}_1(z)+a_2{X}_2(z)$	$\begin{array}{cc}X(z)=& \\ \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(a_1{x}_1(n)+a_2{x}_2(n))z^{-n}& \\ =a_1\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x_1(n))z^{-n}+& \\ a_2\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x_2(n))z^{-n}& \\ =a_1{X}_1(z)+a_2{X}_2(z)\end{array}$	At least the intersection of ROC1 and ROC2
Time expansion	$x_{(k)}[n]=\{\begin{array}{cc}x[r],& n=rk\\ 0,& n=rk\end{array}$ $r$: integer	$X(z^k)$	$\begin{array}{cc}{X}_k(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_k(n)z^{-n}=& \\ =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(r)z^{-rk}=& \\ =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(r)(z^k{)}^{-r}=& \\ =X(z^k)\end{array}$	R^{1/k}
Time shifting	$x[n-k]$	$z^{-k}X(z)$	$\begin{array}{cc}Z\{x[n-k]\}=& \\ \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n-k]z^{-n}\mathrm{\&}\\ \text{ , let }j=n-k& \\ =\sum _{j=-k}^{\mathrm{\infty }}x[j]z^{-(j+k)}& \\ =\sum _{j=-k}^{\mathrm{\infty }}x[j]z^{-j}{z}^{-k}& \\ =z^{-k}\sum _{j=-k}^{\mathrm{\infty }}x[j]z^{-j}& \\ =z^{-k}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}x[j]z^{-j}& \\ \text{ , since }x[\beta ]=0\text{ if }\beta <0& \\ =z^{-k}X(z)& \end{array}$	ROC, except $z=0$ if $k>0$ and $z=\mathrm{\infty }$ if $k<0$
Scaling in the z-domain	$a^{n}x[n]$	$X(a^{-1}z)$	$\begin{array}{cc}Z\{a^{n}x[n]\}=& \\ \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{n}x(n)z^{-n}& \\ =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)(a^{-1}z{)}^{-n}& \\ =X(a^{-1}z)& \end{array}$	$|a|r_2<|z|<|a|r_1$
Time reversal	$x[-n]$	$X(z^{-1})$	$\begin{array}{cc}𝒵\{x(-n)\}=& \\ \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(-n)z^{-n}& \\ =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(m)z^m& \\ =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(m){(z^{-1})}^{-m}& \\ =X(z^{-1})& \end{array}$	$\frac{1}{r_1}<|z|<\frac{1}{r_2}$
Complex conjugation	$x^{*}[n]$	$X^{*}(z^{*})$	$\begin{array}{cc}Z\{x^{*}(n)\}=& \\ \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^{*}(n)z^{-n}& \\ =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[x(n)(z^{*}{)}^{-n}{]}^{*}& \\ =[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)(z^{*}{)}^{-n}{]}^{*}& \\ =X^{*}(z^{*})& \end{array}$	ROC
Real part	$\mathrm{Re}\{x[n]\}$	$\frac{1}{2}[X(z)+X^{*}(z^{*})]$		ROC
Imaginary part	$\mathrm{Im}\{x[n]\}$	$\frac{1}{2j}[X(z)-X^{*}(z^{*})]$		ROC
Differentiation	$nx[n]$	$-z\frac{dX(z)}{dz}$	$\begin{array}{cc}Z\{nx(n)\}=& \\ \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}nx(n)z^{-n}& \\ =z\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}nx(n)z^{-n-1}& \\ =-z\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)(-n{z}^{-n-1})& \\ =-z\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)\frac{d}{dz}(z^{-n})& \\ =-z\frac{dX(z)}{dz}& \end{array}$	ROC
Convolution	$x_1[n]*x_2[n]$	$X_1(z)X_2(z)$	$\begin{array}{cc}𝒵\{x_1(n)*x_2(n)\}=& \\ 𝒵\{\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1(l)x_2(n-l)\}& \\ =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1(l)x_2(n-l)]z^{-n}& \\ =\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1(l)\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_2(n-l)z^{-n}]& \\ =[\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1(l)z^{-l}][\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_2(n)z^{-n}]& \\ =X_1(z)X_2(z)& \end{array}$	At least the intersection of ROC1 and ROC2
Cross-correlation	$r_{x_1,x_2}=x_1^{*}[-n]*x_2[n]$	$R_{x_1,x_2}(z)=X_1^{*}(1/z^{*})X_2(z)$		At least the intersection of ROC of $X_1(1/z^{*})$ and $X_2(z)$
First difference	$x[n]-x[n-1]$	$(1-z^{-1})X(z)$		At least the intersection of ROC of X1(z) and $|z|>0$
Accumulation	$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}x[k]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}X(z)$	$\begin{array}{c}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}x[k]\cdot z^{-n}\\ =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x[n]+x[n-1]+\\ x[n-2]\cdots x[-\mathrm{\infty }])z^{-n}\\ =X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\cdots )\\ =X[z]\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{-j}\\ =X[z]\frac{1}{1-z^{-1}}\end{array}$
Multiplication	$x_1[n]x_2[n]$	$\frac{1}{j2\pi }{\oint }_C{X}_1(v)X_2(\frac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v$		-
Parseval's relation	$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1[n]x_2^{*}[n]$	$\frac{1}{j2\pi }{\oint }_C{X}_1(v)X_2^{*}(\frac{1}{v^{*}})v^{-1}\mathrm{d}v$

• Initial value theorem

$x[0]=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }X(z)$, If $x[n]$ causal

• Final value theorem

$x[\mathrm{\infty }]=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)X(z)$, Only if poles of $(z-1)X(z)$ are inside the unit circle

प्रमुख Z-रूपान्तर युग्म

यहाँ:

• $u[n]=\{\begin{array}{cc}1,& n\ge 0\\ 0,& n<0\end{array}$
• $\delta [n]=\{\begin{array}{cc}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}$

	Signal, $x[n]$	Z-transform, $X(z)$	ROC
1	$\delta [n]$	$1$	$\text{all }z$
2	$\delta [n-n_0]$	$z^{-n_0}$	$z\ne 0$
3	$u[n]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$|z|>1$
4	$e^{-\alpha n}u[n]$	$\frac{1}{1-e^{-\alpha }{z}^{-1}}$	$|z|>|e^{-\alpha }|$
5	$-u[-n-1]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$|z|<1$
6	$nu[n]$	$\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}$	$|z|>1$
7	$-nu[-n-1]$	$\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}$	$|z|<1$
8	$n^{2}u[n]$	$\frac{z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1}{)}^3}$	$|z|>1$
9	$-n^{2}u[-n-1]$	$\frac{z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1}{)}^3}$	$|z|<1$
10	$n^{3}u[n]$	$\frac{z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1}{)}^4}$	$|z|>1$
11	$-n^{3}u[-n-1]$	$\frac{z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1}{)}^4}$	$|z|<1$
12	$a^{n}u[n]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$|z|>|a|$
13	$-a^{n}u[-n-1]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$|z|<|a|$
14	$n{a}^{n}u[n]$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$|z|>|a|$
15	$-n{a}^{n}u[-n-1]$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$|z|<|a|$
16	$n^2{a}^{n}u[n]$	$\frac{a{z}^{-1}(1+a{z}^{-1})}{(1-a{z}^{-1}{)}^3}$	$|z|>|a|$
17	$-n^2{a}^{n}u[-n-1]$	$\frac{a{z}^{-1}(1+a{z}^{-1})}{(1-a{z}^{-1}{)}^3}$	$|z|<|a|$
18	$\cos ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{1-z^{-1}\cos ({\omega }_0)}{1-2z^{-1}\cos ({\omega }_0)+z^{-2}}$	$|z|>1$
19	$\sin ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{z^{-1}\sin ({\omega }_0)}{1-2z^{-1}\cos ({\omega }_0)+z^{-2}}$	$|z|>1$
20	$a^n\cos ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{1-a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)}{1-2a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)+a^2{z}^{-2}}$	$|z|>|a|$
21	$a^n\sin ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{a{z}^{-1}\sin ({\omega }_0)}{1-2a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)+a^2{z}^{-2}}$	$|z|>|a|$

इन्हें भी देखें

• लाप्लास रूपान्तर
• फुरिये रूपान्तर

बाहरी कड़ियाँ

• Z-Transform table of some common Laplace transforms
• Mathworld's entry on the Z-transform
• Z-Transform threads in Comp.DSP
• Z-Transform Module by John H. Mathews