डिस्क्रीट टाइम फुरिअर ट्रान्सफार्म

गणित में डिस्क्रीट टाइम फुरिअर ट्रान्सफार्म या डीटीएफटी (discrete-time Fourier transform or DTFT), फुरिअर विश्लेषण के कई रुपों में से एक रूप है। यह अनन्त तक परिभाषित किसी अनावर्ती (नॉन्-पेरिऑडिक) डिस्क्रीट-टाइम सेक्वेंस को रूपानतरित करता है। इसे यह भी कहते हैं कि समय-डोमेन का आंकड़ा आवृत्ति-डोमेन में बदल गया। डीटीएफटी द्वारा प्राप्त आवृत्ति-डोमेन का आंकड़ा सतत (कांटिन्युअस) एवं आवर्ती होता है।

डीटीएफटी की परिभाषा

यदि कोई वास्तविक (real) या समिश्र (complex) संख्याओं का समुच्चय : $x[n],n\in \mathbb{Z}$ (पूर्णांक), दिया हो तो $x[n]$ का डीटीएफटी प्रायः इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$X(\omega )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]e^{-i\omega n}.$

व्युत्क्रम रुपान्तर (Inverse transform)

निम्नलिखित रुपान्तर करने पर डिस्क्रीट-टाइम सेक्वेंस फिर से प्राप्त हो जायेगा:

$x[n]$	$=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}X(\omega )\cdot e^{i\omega n}d\omega$
	$=T\underset{-\frac{1}{2T}}{\overset{\frac{1}{2T}}{\int }}{X}_T(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df.$

The integrals span one full period of the DTFT, which means that the x[n] samples are also the coefficients of a Fourier series expansion of the DTFT.   Infinite limits of integration change the transform into a continuous-time Fourier transform [inverse], which produces a sequence of Dirac impulses. That is:

$\begin{array}{cc}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_T(f)\cdot e^{i2\pi ft}df& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(T\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT)e^{-i2\pi fTn})\cdot e^{i2\pi ft}df\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}T\cdot x(nT)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-i2\pi fTn}\cdot e^{i2\pi ft}df\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]\cdot \delta (t-nT).\end{array}$

डीटीएफटी की सूची

नीचे कुछ मानक डिस्क्रीट टाइम सेक्वेंस एवं उनके डीटीएफटी रुपानतर दिये हुए हैं। इसमें प्रयुक्त प्रतीकों का अर्थ निम्नवत है:

• $n$ is an integer representing the discrete-time domain (in samples)
• $\omega$ is a real number in $(-\pi ,\pi )$, representing continuous angular frequency (in radians per sample).
  • The remainder of the transform $(|\omega |>\pi )$ is defined by: $X(\omega +2\pi k)=X(\omega )$
• $u[n]$ is the discrete-time unit step function
• $\mathrm{sinc}(t)$ is the normalized sinc function
• $\delta (\omega )$ is the Dirac delta function
• $\delta [n]$ is the Kronecker delta ${\delta }_{n,0}$
• $\mathrm{rect}(t)$ is the rectangle function for arbitrary real-valued t:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=\sqcap (t)=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }|t|>\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \text{if }|t|=\frac{1}{2}\\ 1& \text{if }|t|<\frac{1}{2}\end{array}$

• $\mathrm{tri}(t)$ is the triangle function for arbitrary real-valued t:

$\mathrm{tri}(t)=\wedge (t)=\{\begin{array}{cc}1+t;& -1\le t\le 0\\ 1-t;& 0<t\le 1\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$

Time domain $x[n]$	Frequency domain $X(\omega )$	Remarks
$\delta [n]$	$1$
$\delta [n-M]$	$e^{-i\omega M}$	integer M
$\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta [n-Mm]$	$\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i\omega Mm}=\frac{1}{M}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\frac{\omega }{2\pi }-\frac{k}{M})$	integer M
$u[n]$	$\frac{1}{1-e^{-i\omega }}$
$e^{-ian}$	$2\pi \delta (\omega +a)$	real number a
$\cos (an)$	$\pi [\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)]$	real number a
$\sin (an)$	$\frac{\pi }{i}[\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)]$	real number a
$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left[\frac{(n-M/2)}{M}\right]$	$\frac{\sin [\omega (M+1)/2]}{\sin (\omega /2)}{e}^{-i\omega M/2}$	integer M
$\mathrm{sinc}[(a+n)]$	$e^{ia\omega }$	real number a
$W\cdot {\mathrm{sinc}}^2(Wn)$	$\mathrm{tri}\left(\frac{\omega }{2\pi W}\right)$	real number W $0<W\le 0.5$
$W\cdot \mathrm{sinc}[W(n+a)]$	$\mathrm{rect}\left(\frac{\omega }{2\pi W}\right)\cdot e^{ja\omega }$	real numbers W, a $0<W\le 1$
$\{\begin{array}{cc}0& n=0\\ \frac{(-1{)}^n}{n}& \text{elsewhere}\end{array}$	$j\omega$	it works as a differentiator filter
$\frac{W}{(n+a)}\{\cos [\pi W(n+a)]-\mathrm{sinc}[W(n+a)]\}$	$j\omega \cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega }{\pi W}\right)e^{ja\omega }$	real numbers W, a $0<W\le 1$
$\frac{1}{\pi n^2}[(-1{)}^n-1]$	$|\omega |$
$\{\begin{array}{cc}0;& n\text{ odd}\\ \frac{2}{\pi n};& n\text{ even}\end{array}$	$\{\begin{array}{cc}j& \omega <0\\ 0& \omega =0\\ -j& \omega >0\end{array}$	Hilbert transform
$\frac{C(A+B)}{2\pi }\cdot \mathrm{sinc}\left[\frac{A-B}{2\pi }n\right]\cdot \mathrm{sinc}\left[\frac{A+B}{2\pi }n\right]$		real numbers A, B complex C

डीटिएफटी के गुणधर्म

This table shows the relationships between generic discrete-time Fourier transforms. We use the following notation:

• $*$ is the convolution between two signals
• $x[n{]}^{*}$ is the complex conjugate of the function x[n]
• ${\rho }_{xy}[n]$ represents the correlation between x[n] and y[n].

The first column provides a description of the property, the second column shows the function in the time domain, the third column shows the spectrum in the frequency domain:

Property	Time domain $x[n]$	Frequency domain $X(\omega )$	Remarks
Linearity	$ax[n]+by[n]$	$aX(e^{i\omega })+bY(e^{i\omega })$
Shift in time	$x[n-k]$	$X(e^{i\omega })e^{-i\omega k}$	integer k
Shift in frequency (modulation)	$x[n]e^{ian}$	$X(e^{i(\omega -a)})$	real number a
Time reversal	$x[-n]$	$X(e^{-i\omega })$
Time conjugation	$x[n{]}^{*}$	$X(e^{-i\omega }{)}^{*}$
Time reversal & conjugation	$x[-n{]}^{*}$	$X(e^{i\omega }{)}^{*}$
Derivative in frequency	$\frac{n}{i}x[n]$	$\frac{dX(e^{i\omega })}{d\omega }$
Integral in frequency	$\frac{i}{n}x[n]$	$\underset{-\pi }{\overset{\omega }{\int }}X(e^{i\vartheta })d\vartheta$
Convolve in time	$x[n]*y[n]$	$X(e^{i\omega })\cdot Y(e^{i\omega })$
Multiply in time	$x[n]\cdot y[n]$	$\frac{1}{2\pi }X(e^{i\omega })*Y(e^{i\omega })$
Correlation	${\rho }_{xy}[n]=x[-n{]}^{*}*y[n]$	$R_{xy}(\omega )=X(e^{i\omega }{)}^{*}\cdot Y(e^{i\omega })$

सममिति के गुण (Symmetry Properties)

फुरिअर रुपान्तर, वास्तविक एवं काल्पनिक (real and imaginary) या सम एवं विषम (even and odd) के योग के रूप में व्यक्त की जा सकती है।
$X(e^{i\omega })=X_R(e^{i\omega })+i{X}_I(e^{i\omega })$
या
$X(e^{i\omega })=X_E(e^{i\omega })+X_O(e^{i\omega })$

Time Domain $x[n]$	Frequency Domain $X(e^{i\omega })$
$x^{*}[n]$	$X^{*}(e^{-i\omega })$
$x^{*}[-n]$	$X^{*}(e^{i\omega })$