बीटा फलन

गणित में बीटा फलन (beta function) एक विशेष फलन है जो निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया गया है-

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$

$\text{Re}(x)$ के लिये, $\text{Re}(y)>0.$

इसे 'प्रथम प्रकार का ऑयलर समाकल' (Euler integral of the first kind) भी कहते हैं। बीटा फलन का अध्ययन ऑयलर (Leonhard Euler) और लाग्रेंज (Adrien-Marie Legendre) ने किया था। बिटा फलन के लिये प्रतीक Β का प्रयोग किया जाता है। ध्यान दें कि यह ग्रीक वर्ण 'बीटा' β का कैपिटल रूप है न कि लैटिन अल्फाबेट b का कैपिटल रूप (अर्थात B) .

गुण

$\mathrm{R}\mathrm{e}(x)>0$ तथा $\mathrm{R}\mathrm{e}(y)>0$ के लिए बीटा फलन को गामा फलन के अनुसार निम्नलिखित रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है:

$B(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}.$

साँचा:Collapse top ज्ञात हो कि जब $\mathrm{R}\mathrm{e}(x)>0$ तो $\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^{x-1}{e}^{-u}\mathrm{d}u$। अतः (दूसरी पंक्ति में $u=zt,v=z(1-t)$ रूपांतरण का प्रयोग करते हुए) हम देखते हैं कि

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =\underset{u=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{v=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(u+v)}{u}^{x-1}{v}^{y-1}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ & =\underset{z=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{t=0}{\overset{1}{\int }}{e}^{-z}{z}^{x+y-1}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t\mathrm{d}z\\ & =\mathrm{\Gamma }(x+y)B(x,y)\end{array}$

(यहाँ तीसरी पंक्ति में समाकलन के क्रम को बदलने में फुबीनी प्रमेय का प्रयोग निहित है।) चूंकि $\mathrm{R}\mathrm{e}(x)>0$ तथा $\mathrm{R}\mathrm{e}(y)>0$ के लागू होने पर $\mathrm{\Gamma }(x+y)\ne 0$, उपर्युक्त समीकरण हमारे प्रतिपादन की पुष्टि करता है। साँचा:Collapse bottom

इन्हें भी देखें

• बेसल फलन
• गामा फलन

बाहरी कड़ियाँ

बीटा फलन का मान ऐच्छिक परिशुद्धि के साथ इन संजाल-स्थलों पर प्राप्त किया जा सकता है:

• • वुल्फ्राम फलन संजाल-स्थल: बीटा तथा अपूर्ण बीटा फलनों का मान
  • danielsoper.com: अपूर्ण बीटा फलन गणक तथा नियमित अपूर्ण बीटा फलन गणक