१ − २ + ३ − ४ + · · ·

0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ... के प्रथम 15,000 आंशिक योग

गणित में, 1 − 2 + 3 − 4 + ··· एक अनन्त श्रेणी है जिसके व्यंजक क्रमानुगत धनात्मक संख्याएं होती हैं जिसके एकान्तर चिह्न होते हैं अर्थात प्रत्येक व्यंजक के चिह्न, इसके पूर्व व्यंजक से विपरीत होते हैं। श्रेणी के प्रथम m पदों का योग सिग्मा योग निरूपण की सहायता से निम्नवत् लिखा जा सकता है:

$\sum _{n=1}^{m}n(-1{)}^{n-1}$

अनन्त श्रेणी के अपसरण का मतलब यह है कि इसके आंशिक योग का अनुक्रम साँचा:Nowrap किसी परिमित मान की ओर अग्रसर नहीं होता है। बहरहाल, 18वीं शताब्दी के मध्य में लियोनार्ड आयलर ने विरोधाभासी समीकरण में लिखा:

$1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{4}$

लेकिन इस समीकरण की सार्थकता बहुत समय बाद तक स्पष्ट नहीं हो पाई। 1980 के पूर्वार्द्ध में अर्नेस्टो सिसैरा, एमिल बोरेल तथा अन्य ने अपसारी श्रेणियों को व्यापक योग निर्दिष्ट करने के लिए सुपरिभाषित विधि प्रदान की— जिसमें नवीन आयलर विधियों का भी उल्लेख था। इनमें से विभिन्न संकलनीयता विधियों द्वारा साँचा:Nowrap का "योग" साँचा:Frac लिखा जा सकता है। सिसैरा-संकलन उन विधियों में से एक है जो साँचा:Nowrap का योग प्राप्त नहीं कर सकती, अतः श्रेणी एक ऐसा उदाहरण है जिसमें थोड़ी प्रबल विधि यथा एबल संकलन विधि की आवश्यकता होती है।

श्रेणी साँचा:Nowrap, ग्रांडी श्रेणी साँचा:Nowrap से अतिसम्बद्ध है। आयलर ने इन दोनों श्रेणियों को श्रेणी साँचा:Nowrap जहाँ (n यदृच्छ है), की विशेष अवस्था के रूप में अध्ययन किया और अपने शोध कार्य को बेसल समस्या तक विस्तारित किया। बाद में उनका ये कार्य फलनिक समीकरण के रूप में परिणत हुआ जिसे अब डीरिख्ले ईटा फलन और रीमान जीटा फलन के नाम से जाना जाता है।

अपसरण

श्रेणी के पद (1, −2, 3, −4, ...) 0 की ओर अग्रसर नहीं हैं; अतः साँचा:Nowrap पद परीक्षण विधि से अपसारी प्रतीत होती है। बाद में सन्दर्भ के तौर पर यह भी आवश्यक हो गया कि श्रेणी के अपसरण का मूलभूत स्तर क्या है? परिभाषा के अनुसार किसी अनन्त श्रेणी के अपसरण या अभिसरण को उस अनुक्रम के आंशिक योग के अपसरण या अभिसरण द्वारा ज्ञात किया जाता है

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

...

इस अनुक्रम की विशिष्टता यह है कि इसमें प्रत्येक पूर्णांक ठीक एक बार ही आता है— जिसमें शून्य भी शामिल है। यदि खाली आंशिक संकलन किया जाए— जिससे पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbb{Z}$ की गणनीयता की स्थापना की जाती है। आंशिक योग से यह स्पष्ट होता है कि श्रेणी किसी विशिष्ट संख्या पर अभिसरण नहीं करती (किसी प्रस्तावित सीमा x के लिए एक ऐसा बिन्दु प्राप्त किया जा सकता है जिसके उत्तरवर्ती सभी संकलन अन्तराल [x-1, x+1] के बाहर होंगे)। अतः साँचा:Nowrap अपसारी है।

संकलन के लिए अन्वेषण

स्थिरता एवं रैखिकता

चूँकि पद 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... एक सरल पद्धति के अनुरूप हैं अतः श्रेणी साँचा:Nowrap स्थान परिवर्तन कर पदवार संकलित करके एक संख्यात्मक मान प्राप्त किया जा सकता है। यदि किसी साधारण संख्या s के लिए साँचा:Nowrap लिखना सम्भव हो तो श्रेणी का योग साँचा:Nowrapसिद्ध किया जा सकता है:

$\begin{array}{ccccccc}4s& =& & (1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )\\ & =& & (1-2+3-4+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& +(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\ & =& & (1-2+3-4+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& -1+(3-4+5-6\cdots )\\ & =& 1+& (1-2+3-4+\cdots )& +(-2+3-4+5+\cdots )& +(-2+3-4+5+\cdots )& +(3-4+5-6\cdots )\\ & =& 1+[& (1-2-2+3)& +(-2+3+3-4)& +(3-4-4+5)& +(-4+5+5-6)+\cdots ]\\ & =& 1+[& 0+0+0+0+\cdots ]\\ 4s& =& 1\end{array}$

श्रेणी साँचा:Nowrap की 4 प्रतियों का पदवार स्थानांतरण करके योग करने पर 1 प्राप्त होता है। वाम हस्त और दक्षिण हस्त दिशा मे साँचा:Nowrap की दो प्रतियाँ प्रत्येक को साँचा:Nowrap से जोड़ते हुए दिखाया गया है।

अतः

$s=\frac{1}{4}$

का ज्यामितीय निरुपण दायीं ओर के चित्र में दर्शाया गया है।

यद्यपि 1 − 2 + 3 − 4 + ... सामान्य अर्थों में संकलनीय नहीं है, अतः समीकरण साँचा:Nowrap को कथन 'यदि इस तरह का योग परिभाषित किया जाता है' के साथ समर्थित किया जा सकता है। किसी अपसारी श्रेणी के "योग" की व्यापक परिभाषा को संकलन विधि या संकलनीयता विधि कहते हैं, जो सभी सम्भव श्रेणियों के कुछ उपसमुच्चयों का योग करती है। साधारण संकलनों को प्रदर्शित करने वाली विभिन्न विधियाँ (जिनमें से कुछ का विवरण नीचे दिया गया है) हैं। उपरोक्त विवेचन से यह सिद्ध होता है कि किसी दी गई संकलनीयता विधि से जो स्थिरता एवं रैखिकता और श्रेणी साँचा:Nowrap को योग करें, तो इसका परिणामी मान साँचा:Frac होगा। इसके अतिरिक्त, चूँकि

$\begin{array}{cccccc}2s& =& & (1-2+3-4+\cdots )& +& (1-2+3-4+\cdots )\\ & =& 1+& (-2+3-4+\cdots )& +1-2& +(3-4+5\cdots )\\ & =& 0+& (-2+3)+(3-4)+(-4+5)+\cdots \\ 2s& =& & 1-1+1-1\cdots \end{array}$

ऐसी पद्धतियों से ग्रांडी श्रेणी साँचा:Nowrap का भी योग किया जा सकता है।

कौशी गुणनफल

सन् १८९१ में अर्नेस्टो सिसैरा ने यह लिखते हुये- "साँचा:Nowrap लिखा जा सकता है और इसका मान साँचा:Frac के बराबर होता है" आशा व्यक्त की कि अपसारी श्रेणियों को भी कलन के उपयुक्त माना जा सकता है। सिसैरा के लिए यह समीकरण उनके पूर्व प्रकाशित पत्र की प्रमेय का एक अनुप्रयोग था जिसे अपसारी श्रेणियों के संकलन के इतिहास की प्रथम ज्ञात प्रमेय के रूप में पहचाना जा सकता है। उनकी संकलन विधि का वर्णन नीचे किया गया है; जिसकी मुख्य अवधारणा यह है कि श्रेणी साँचा:Nowrap, श्रेणी साँचा:Nowrap का श्रेणी साँचा:Nowrap के साथ कौशी गुणनफल है।

दो अनन्त श्रेणियों का कोशी गुणनफल तब भी परिभाषित है जब दोनों श्रेणियाँ अपसारी हों। इस अवस्था में, जहाँ Σa_n = Σb_n = Σ(−1)ⁿ हो, कोशी गुणनफल के व्यंजक निश्चित विकर्ण योग द्वारा दिये जाते हैं:

$\begin{array}{ccc}{c}_n& =& \sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(-1{)}^{n-k}\\ & =& \sum _{k=0}^n(-1{)}^n=(-1{)}^n(n+1).\end{array}$

इस स्थिति में गुणनफल श्रेणी निम्नवत् होगी:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(n+1)=1-2+3-4+\cdots$

अतः दो श्रेणियों का कोशी गुणनफल और योग साँचा:Nowrap का अनुसरण करने वाली संकलन विधि योग साँचा:Nowrap देगी। पूर्व अनुभाग के परिणाम के साथ वे विधियाँ जो रैखिक, स्थिरता और कोशी गुणनफल का अनुसरण करती हैं, श्रेणी साँचा:Nowrap और श्रेणी साँचा:Nowrap की संकलनीयता में समानार्थकता में अन्तर्निहित होती हैं।

सिसैरा प्रमेय एक सरल उदाहरण है। श्रेणी साँचा:Nowrap यदि दुर्बलतः सिसैरा-संकलनीय है जिसे साँचा:Nowrap भी कहा जाता है, जबकि साँचा:Nowrap के लिए सिसैरा प्रमेय का प्रबलतम रूप होना अपेक्षित होता है जिसे साँचा:Nowrap लिखते हैं। चूँकि सिसैरा प्रमेय के सभी रूप रैखिक और स्थायी होते हैं, इसके योग की भी गणना की जा सकती है।

विशिष्ट पद्धतियाँ

सिसैरो और होल्डर

(H, 2) के आँकड़े जिनका योग साँचा:Frac है।

श्रेणी 1 − 2 + 3 − 4 + ... का सिसैरो संकलन (C, 1) ज्ञात करने के लिए माना श्रेणी का सिसैरा संकलन विद्यमान है अतः सर्वप्रथम श्रेणी के आंशिक योग के समान्तर माध्य की गणना करते हैं। श्रेणी का आंशिक योग:

1, −1, 2, −2, 3, −3, ...,

और इन योगों का समान्तर माध्य निम्नवत् दिया जाता है:

1, 0, साँचा:Frac, 0, साँचा:Frac, 0, साँचा:Frac, ....

चूँकि माध्य का अनुक्रम अभिसारी नहीं है अतः श्रेणी 1 − 2 + 3 − 4 + ... सिसैरा संकलनीय नहीं है।

सिसैरा संकलन के मुख्यतः दो व्यापकीकरण काम में लिये जाते हैं: प्राकृत संख्या n के लिए (H, n) के अनुक्रम की विधि संकल्पनात्मक रूप से इन दोनों में से सरल है। (H, 1) योग को सिसैरा संकलन कहते हैं और उच्चतर विधियाँ माध्य के अभिकलन की पुनरावृत्ति करती हैं। उपरोक्त में सभी सम पदों का माध्य साँचा:Frac प्राप्त होता है जबकि विषम पदों का माध्य 0 के बराबर होता है, अतः माध्यों का माध्य 0 और साँचा:Frac के औसत पर अभिसरण करता है जिसका मान साँचा:Frac प्राप्त होता है। अतः साँचा:Nowrap, (H, 2) संकलनीय है जिसका मान साँचा:Frac प्राप्त होता है।

यहाँ "H" ऑटो होल्डर के लिए प्रतीकत्व है, जिन्होंने सर्वप्रथम 1882 में एबल संकलन और (H, n) संकलन में सम्बंध को सिद्ध किया था; साँचा:Nowrap उनका प्रथम उदाहरण था। साँचा:Nowrap का (H, 2) योग साँचा:Frac होना इस तथ्य की प्रत्याभूति करता है कि यह एबल योज्य है; इसकी उपपत्ति नीचे की गई है।

सिसैरा संकलन का अन्य सूत्रबद्ध व्यापकीकरण (C, n) अनुक्रम विधि है। यह सिद्ध किया जा चुका है कि (C, n) संकलन और (H, n) संकलन हमेशा समान परिणाम देते हैं लेकिन दोनों की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि भिन्न है। सन् 1887 में, सिसैरा ने (C, n) संकलन को लगभग परिभाषित किया था लेकिन उन्होंने केवल कुछ उदाहरण ही दिये। विशेष रूप से उन्होंने साँचा:Nowrap का योग किसी विधि से साँचा:Frac प्राप्त किया जिसे (C, n) के रूप में कथित किया जा सकता है लेकिन वो उस समय पर उचित तरीके से नहीं समझा पाये। उन्होंने 1890 में औपचारिक रूप से (C, n) विधि परिभाषित की जिसके अनुसार (C, n)-संकलनीय श्रेणी और (C, m)-संकलनीय श्रेणी का कोशी गुणनफल (C, m + n + 1)-संकलनीय होता है।

एबल संकलन

1−2x+3x²+...; 1/(1 + x)² के कुछ गुणित पद; जहाँ सीमा 1 की ओर अग्रसर है।

सन् 1749 की एक रपट के अनुसार, लियोनार्ड आयलर ने स्वीकार किया था कि श्रेणी अपसारी है लेकिन किसी न किसी प्रकार से इसका योग ज्ञात किया जा सकता है:

आयलर ने शब्द "योग" को लिए विभिन्न समयों पर एक व्यापकीकृत करने का प्रस्ताव रखा; इसे अनन्त श्रेणी पर आयलर (Euler on infinite series) में देखा जा सकता है। साँचा:Nowrap की स्थिति में उनके विचार समरूप थे जिन्हें एबल संकलन के नाम से जाना जाता है:

यहाँ पर यह देखने की विभिन्न विधियाँ हैं जिनमें कम से कम निरपेक्ष मानों |x| < 1, के लिए आयलर के अनुसार:

$1-2x+3x^2-4x^3+\cdots =\frac{1}{(1+x{)}^2}$

दक्षिण-हस्थ दिशा में टेलर श्रेणी विस्तार करने पर और बहुपदों के लिए वृहत भाग प्रक्रिया लागू करने पर।

आधुनिक विचारों के अनुसार श्रेणी 1 − 2x + 3x² − 4x³ + ..., साँचा:Nowrap पर कोई फलन परिभाषित नहीं करती अतः परिणामी व्यंजक में वह मान सीधे ही प्रयुक्त नहीं किया जा सकता। चूँकि फलन सभी साँचा:Nowrap के लिए परिभाषित है अतः x के 1 की ओर अग्रसर मान का सीमान्त मान प्राप्त कर सकता है और यही एबल योग की परिभाषा है:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n(-x{)}^{n-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{1}{4}$

आयलर और बोरल

साँचा:Frac − साँचा:Frac का आयलर संकलन

आयलर ने श्रेणी पर अन्य प्रविधि प्रयुक्त की: आयलर रचनांतर, उनके आविष्कारों में से एक। आयलर रचनांतर की गणना करने के लिए सर्वप्रथम धनात्मक पदों के अनुक्रम से आरम्भ करते हैं जो एकांतर श्रेणी का निर्माण करता है— वर्तमान अवस्था में यह श्रेणी साँचा:Nowrap है। इस श्रेणी के प्रथम अवयव को a₀ से अंकित किया जाता है।

इसके बाद साँचा:Nowrap में अग्र अन्तरालों का एक अनुक्रम परिभाषित किया जाता है; जो केवल साँचा:Nowrap प्राप्त होता है। इस अनुक्रम के प्रथम पद को Δa₀ से अंकित किया जाता है। आयलर रचनांतर अंतरों के अंतर और उच्च पुनरावृत्तियों पर भी निर्भर करता है लेकिन साँचा:Nowrap के सभी अग्र अंतर 0 ही प्राप्त होते हैं। अतः साँचा:Nowrap के आयलर रचनांतर को निम्नवत् परिभाषित किया जाता है:

$\frac{1}{2}{a}_0-\frac{1}{4}\mathrm{\Delta }{a}_0+\frac{1}{8}{\mathrm{\Delta }}^2{a}_0-\cdots =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$

आधुनिक पारिभाषित शब्दावली में साँचा:Nowrap आयलर संकलनीय है जिसका मान साँचा:Frac प्राप्त होता है।

आयलर संकलनीयता में अन्य प्रकार की संकलनीयता भी अंतर्निहित है। साँचा:Nowrap को निम्नवत् लिखा जा सकता है:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(k+1),$

जिससे सर्वत्र-अभिसारी श्रेणी निम्नवत् सम्बंधित है:

$a(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(k+1)x^k}{k!}=e^{-x}(1-x)$

अतः श्रेणी 1 − 2 + 3 − 4 + ... का बोरल योग निम्न होगा:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}a(x)dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-2x}(1-x)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$

मापक पृथक्करण

सैचेव और वय्कज़िनस्की दो भौतिक सिद्धान्तों: अत्यल्प विश्रांति और मापक पृथक्करण की सहायता से परिणाम साँचा:Nowrap पर पहुंचे। इन सिद्धान्तों को यथार्थ उन्होंने एक विस्तृत "φ-संकलन विधि" का परिवार जिसमें उन सभी श्रेणियों को रखा गया जिनका योग साँचा:Frac प्राप्त होता है, परिभाषित किया:

• यदि φ(x) एक फलन है जिसका प्रथम एवं द्वितीय अवकलज परास (0, ∞) में इस प्रकार सतत और समाकलनीय हैं कि φ(0) = 1 और φ(x) एवं xφ(x) का +∞ पर सीमान्त मान 0 होता है तब

$\underset{\delta \to 0}{\lim }\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m(m+1)\phi (\delta m)=\frac{1}{4}$

यह हल एबल संकलन का व्यापकीकरण है जिसे φ(x) = exp(−x) लिखकर प्राप्त किया जा सकता है। व्यापक कथन श्रेणी के m पदों को युग्मित करके व्यंजकों को रीमान-समाकल में परिवर्तित करके प्राप्त किया जा सकता है। बाद वाले पद के लिए, श्रेणी साँचा:Nowrap का हल सिद्ध करने के लिए माध्यमान प्रमेय प्रयुक्त किया जाता है लेकिन टेलर प्रमेय की भांति कठिन भाषा की आवश्यकता होती है।

व्यापकीकरण

E212 — Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum के पृष्ठ संख्या 233 से लिया गया एक खण्ड। आयलर ने वैसी ही श्रेणी का योग किया, ca. 1755.

श्रेणी साँचा:Nowrap का तिहरा कोशी गुणनफल श्रेणी साँचा:Nowrap प्राप्त होती है जो त्रिकोण संख्याओं की श्रेणी है; इसका एबल और आयलर योग साँचा:Frac है। श्रेणी साँचा:Nowrap का चतुर्थ कोशी गुणनफल करने पर श्रेणी साँचा:Nowrap प्राप्त होती है जो चतुष्फलकीय संख्याओं की एकान्तर श्रेणी है, इसका एबल योग साँचा:Frac प्राप्त होता है।

श्रेणी 1 − 2 + 3 − 4 + ... का n के अन्य मानों के लिए श्रेणी साँचा:Nowrap में व्यापकीकरण किय जा सकता है। धनात्मक संख्याओं n के लिए श्रेणी का एबल योग निम्नवत् है:

$1-2^n+3^n-\cdots =\frac{2^{n+1}-1}{n+1}{B}_{n+1}$

जहाँ B_n बर्नूली संख्याएँ हैं। n के सम मानों के लिए

$1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0$

पिछला योग नील्स हेनरिक एबल द्वारा 1826 में विशेष उपहास का विषय बताया गया:

"अपसारी श्रेणियों पूर्णतया शैतानों के कार्य पर है और यह शर्म की बात है कि इस पर कई उपपत्तियाँ पाने की हिम्मत की जाती है। जब इससे बाहर आ सकता है जिसे कोई काम में लेना चाहता है और ये वो हैं जो अप्रसन्नता सूचक है तथा इसमें बहुत ही विरोधाभास हैं। क्या यहाँ पर निम्नलिखित को लागू करने से अधिक कुछ सोचा जा सकता है

0 = 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + etc.

जहाँ n एक धनात्मक संख्या है। यहाँ पर दोस्तों पर थोड़ा मुस्कराया जा सकता है।"

सिसैरो के गुरु यूजीन चार्ल्स कैटलन ने भी अपसारी श्रेणियों की उपेक्षा की। कैटलन के प्रभाव से सिसैरो ने भी प्रारम्भ में श्रेणी साँचा:Nowrap के लिए "अर्थहीन समानता" के रूप में "परम्परागत सूत्रों" को उल्लिखित किया और 1883 में सिसैरो ने उस समय का प्रारूपिक दृष्टिकोण व्यक्त किया जिसके अनुसार वो सूत्र गलत थे लेकिन अभी भी औपचारिक रूप से उपयोगी हैं। अंततः 1890 में सिसैरा सुर ला मल्टीप्लिकेशन देज़ सिरीज़ (श्रेणी के गुणा पर) में परिभाषा से आरम्भ करते हुये एक आधुनिक दृष्टिकोण प्रस्तुत किया।

श्रेणियों का अध्ययन n के अपूर्णांक मानों के लिए भी किया गया; इससे ही डीरिख्ले ईटा फलन का निर्माण हुआ। श्रेणी साँचा:Nowrap से सम्बंधित श्रेणियाँ अध्ययन करना आयलर की प्रेरणा का भाग ईटा फलन का फलनिक समीकरण था, जो सीधे रीमान जीटा फलन की फलनिक समीकरण देती है। आयलर ने धनात्मक सम संख्याओं (बेसल समस्या सहित) पर इन फलनों के मान प्राप्त करने के लिए प्रसिद्धि प्राप्त की और उन्होंने धनात्मक विषम संख्याओं के लिए भी समान कोशिश की, जो वर्तमान में भी एक निवारणहीन समस्या बनी हुई है। विशेष रूप से ईटा फलन आयलर विधि से काम में लेना सरल है क्योंकि इसकी डीरिख्ले श्रेणी सर्वत्र एबल संकलनीय है; जीटा फलन का डीरिख्ले श्रेणियाँ अपसारी होने पर, उनका योग बहुत कठिन है। उदाहरण के लिए, जीटा फलन में श्रेणी साँचा:Nowrap का प्रतिरूप अन्-एकान्तर श्रेणी साँचा:Nowrap है, जिसके आधुनिक भौतिकी में गहरा अनुप्रयोग हैं लेकिन योग के लिए बहुत कठिन विधियों की आवश्यकता होगी।

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